Theorem pntlem3 25298

Description: Lemma for pnt 25303. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem3.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem3.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem3.A	|- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
pntlem3.1	|- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
pntlem3.2	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem3.3	|- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )

Assertion

Ref	Expression
pntlem3	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Distinct variable groups:   x, t, y, z, A   u, a, x, y, z   u, C   u, t, R, x, y, z   t, a   u, T, x   ph, t, x, y, u, z

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( u, a)   C( x, y, z, t, a)   R( a)   T( y, z, t, a)

Proof of Theorem pntlem3

Dummy variables s w p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11843	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
3	2	subcn 22669	. . . . . . . . . . . 12 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
5		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
6		cncfmptid 22715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
7	5, 5, 6	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC )
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> p ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9		pntlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR+ )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> C e. RR+ )
11	10	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> C e. CC )
12	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> CC C_ CC )
13		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. CC /\ CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
14	11, 12, 12, 13	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> C ) e. ( CC -cn-> CC ) )
15		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. NN0
16	2	expcn 22675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. NN0 -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
17	15, 16	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
18	2	cncfcn1 22713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
19	17, 18	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p ^ 3 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
20	14, 19	mulcncf 23215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
21	2, 4, 8, 20	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
22		pntlem3.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t }
23		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } C_ ( 0 [,] A )
24	22, 23	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ ( 0 [,] A )
25		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
26		pntlem3.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR+ )
27	26	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
28		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
29	25, 27, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
30	24, 29	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T C_ RR )
31		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR*
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 e. RR* )
33	26	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
34	26	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ A )
35		ubicc2 12289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A e. ( 0 [,] A ) )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. ( 0 [,] A ) )
37		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR+
38		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
39		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. RR -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( z e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ 1 <_ z ) ) )
41	40	simprbda 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR )
42		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
43	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
44		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 1
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < 1 )
46	40	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ z )
47	42, 43, 41, 45, 46	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 < z )
48	41, 47	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> z e. RR+ )
49		pntlem3.A	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( R ` x ) = ( R ` z ) )
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> x = z )
53	51, 52	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( R ` z ) / z ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) = ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) )
55	54	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
56	55	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
57	48, 50, 56	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
58	57	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 1 -> ( y [,) +oo ) = ( 1 [,) +oo ) )
60	59	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 1 -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A <-> A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
61	60	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. z e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
62	37, 58, 61	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A )
63		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = A -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
64	63	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = A -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
65	64, 22	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. T <-> ( A e. ( 0 [,] A ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ A ) )
66	36, 62, 65	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. T )
67		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. T -> T =/= (/) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= (/) )
69		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
70	25, 27, 69	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( t e. ( 0 [,] A ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) ) )
71	70	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ A ) )
72	71	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> 0 <_ t )
73	72	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
74	73	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
75	22	raleqi 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w )
76		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = t -> ( 0 <_ w <-> 0 <_ t ) )
77	76	ralrab2 3372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
78	75, 77	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. T 0 <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> 0 <_ t ) )
79	74, 78	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. w e. T 0 <_ w )
80		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
81	80	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 0 -> ( A. w e. T x <_ w <-> A. w e. T 0 <_ w ) )
82	81	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. T 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
83	25, 79, 82	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
84		infrecl 11005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
85	30, 68, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
86	85	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
88		elrp 11834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (inf ( T , RR , < ) e. RR+ <-> (inf ( T , RR , < ) e. RR /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
89	88	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (inf ( T , RR , < ) e. RR /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR+ )
90	85, 89	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR+ )
91		3z 11410	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. ZZ
92		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (inf ( T , RR , < ) e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR+ )
93	90, 91, 92	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR+ )
94	10, 93	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR+ )
95		cncfi 22697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) /\ inf ( T , RR , < ) e. CC /\ ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
96	21, 87, 94, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
97	85	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
98		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) e. RR+ )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR+ )
100	97, 99	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) )
101	99	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( s / 2 ) e. RR )
102	97, 101	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
103	97, 102	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
104	100, 103	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) )
105		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
106	30, 105	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T C_ CC )
107	106	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ CC )
108		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T C_ CC -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
110	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
111	110	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. RR )
112	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR )
113	111, 112	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <-> -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
114	85	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
115	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) e. RR )
116	114, 115	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) e. RR )
117	97, 99	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < inf ( T , RR , < ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < inf ( T , RR , < ) )
119	30	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> T C_ RR )
120	83	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
121		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. T )
122		infrelb 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ u )
123	119, 120, 121, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ u )
124	116, 114, 111, 118, 123	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u )
125	111, 114, 115	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) <-> ( (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) ) ) )
126	125	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( s / 2 ) ) < u /\ u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
127	124, 126	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) ) )
128		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. RR+ -> ( s / 2 ) < s )
129	128	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( s / 2 ) < s )
130	111, 114	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - inf ( T , RR , < ) ) e. RR )
131	130	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - inf ( T , RR , < ) ) e. CC )
132	131	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) e. RR )
133		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
134	133	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> s e. RR )
135		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) e. RR /\ ( s / 2 ) e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
136	132, 115, 134, 135	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) /\ ( s / 2 ) < s ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
137	129, 136	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < ( s / 2 ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
138	127, 137	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u < (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
139	113, 138	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u -> ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s ) )
140	139	con1d 139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( -. ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
141	111	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> u e. CC )
142		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> p = u )
143		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = u -> ( p ^ 3 ) = ( u ^ 3 ) )
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = u -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. ( u ^ 3 ) ) )
145	142, 144	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = u -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
146		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) = ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) )
147		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. _V
148	145, 146, 147	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
149	141, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) = ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
150	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) e. CC )
151		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> p = inf ( T , RR , < ) )
152		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( p ^ 3 ) = (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) )
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( C x. ( p ^ 3 ) ) = ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) )
154	151, 153	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = inf ( T , RR , < ) -> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
155		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) e. _V
156	154, 146, 155	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (inf ( T , RR , < ) e. CC -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
157	150, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) = (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
158	149, 157	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) = ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) )
159	158	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
160	159	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) <-> ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
161	9	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
162	161	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> C e. RR )
163		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u e. RR /\ 3 e. NN0 ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
164	111, 15, 163	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u ^ 3 ) e. RR )
165	162, 164	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. ( u ^ 3 ) ) e. RR )
166	111, 165	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. RR )
167	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> 3 e. NN0 )
168	114, 167	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) e. RR )
169	162, 168	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. RR )
170	114, 169	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) e. RR )
171	166, 170, 169	absdifltd 14172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) <-> ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) )
172	169	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) e. CC )
173	150, 172	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) = inf ( T , RR , < ) )
174	173	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) <-> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) ) )
175		pntlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
176	175	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T )
177		infrelb 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
178	119, 120, 176, 177	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) )
179	114, 166, 178	lensymd 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> -. ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) )
180	179	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < inf ( T , RR , < ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
181	174, 180	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
182	181	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) < ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) /\ ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) < ( (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) + ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
183	171, 182	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( u - ( C x. ( u ^ 3 ) ) ) - (inf ( T , RR , < ) - ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
184	160, 183	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
185	140, 184	jad 174	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) /\ u e. T ) -> ( ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
186	185	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
187	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
188	83	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
189		infregelb 11007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) e. RR ) -> ( (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
190	110, 187, 188, 102, 189	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. u e. T (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ u ) )
191	186, 190	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. T ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
192	109, 191	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) -> (inf ( T , RR , < ) + ( s / 2 ) ) <_ inf ( T , RR , < ) ) )
193	104, 192	mtod 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) /\ s e. RR+ ) -> -. A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
194	193	nrexdv 3001	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < inf ( T , RR , < ) ) -> -. E. s e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - inf ( T , RR , < ) ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` u ) - ( ( p e. CC |-> ( p - ( C x. ( p ^ 3 ) ) ) ) ` inf ( T , RR , < ) ) ) ) < ( C x. (inf ( T , RR , < ) ^ 3 ) ) ) )
195	96, 194	pm2.65da 600	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 < inf ( T , RR , < ) )
196	195	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. 0 < inf ( T , RR , < ) )
197	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T C_ RR )
198	68	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> T =/= (/) )
199	83	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. x e. RR A. w e. T x <_ w )
200	133	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> s e. RR )
201		infregelb 11007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. T x <_ w ) /\ s e. RR ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
202	197, 198, 199, 200, 201	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. w e. T s <_ w ) )
203	22	raleqi 3142	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w )
204		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = t -> ( s <_ w <-> s <_ t ) )
205	204	ralrab2 3372	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. { t e. ( 0 [,] A ) | E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t } s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
206	203, 205	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. T s <_ w <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
207	202, 206	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) <-> A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) ) )
208		rpgt0 11844	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR+ -> 0 < s )
209	208	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 < s )
210		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> 0 e. RR )
211	85	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> inf ( T , RR , < ) e. RR )
212		ltletr 10129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ s e. RR /\ inf ( T , RR , < ) e. RR ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ inf ( T , RR , < ) ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
213	210, 200, 211, 212	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( ( 0 < s /\ s <_ inf ( T , RR , < ) ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
214	209, 213	mpand 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s <_ inf ( T , RR , < ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
215	207, 214	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) -> 0 < inf ( T , RR , < ) ) )
216	196, 215	mtod 189	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
217		rexanali 2998	. . . . . 6 |- ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) <-> -. A. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> s <_ t ) )
218	216, 217	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) )
219		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( R ` z ) = ( R ` x ) )
220		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> z = x )
221	219, 220	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( R ` z ) / z ) = ( ( R ` x ) / x ) )
222	221	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
223	222	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
224	223	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t <-> A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t )
225		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
226	225	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. RR )
227		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y <_ x )
228		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR+ )
229	228	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> y e. RR )
230		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
231	229, 230	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ y <_ x ) ) )
232	226, 227, 231	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. ( y [,) +oo ) )
233		pntlem3.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
234	233	pntrval 25251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
235	234	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
236	235	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) )
237		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
238	226, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
239	238	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
240		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
241	240	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x e. CC )
242		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
243	242	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> x =/= 0 )
244	239, 241, 241, 243	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) )
245	241, 243	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( x / x ) = 1 )
246	245	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
247	236, 244, 246	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) = ( ( R ` x ) / x ) )
248	247	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) = ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) )
249	248	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t <-> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) )
250		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> -. s <_ t )
251	250	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> -. s <_ t )
252	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
253	252	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( 0 [,] A ) C_ RR )
254		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
255	254	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. ( 0 [,] A ) )
256	253, 255	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t e. RR )
257		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR+ )
258	257	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> s e. RR )
259	256, 258	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( t < s <-> -. s <_ t ) )
260	251, 259	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> t < s )
261	225, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. RR )
262		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (ψ ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
263	261, 262	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
264	263	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
265		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( (ψ ` x ) / x ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
266	264, 38, 265	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. RR )
267	266	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) e. CC )
268	267	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR )
269		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. RR /\ t e. RR /\ s e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
270	268, 256, 258, 269	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t /\ t < s ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
271	260, 270	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
272	249, 271	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
273	232, 272	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( y <_ x /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
274	273	exp32 631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y <_ x -> ( x e. RR+ -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
275	274	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( x e. ( y [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t ) -> ( x e. RR+ -> ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) ) )
276	275	ralimdv2 2961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
277	224, 276	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
278	277	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( t e. ( 0 [,] A ) /\ -. s <_ t ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
279	278	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ -. s <_ t ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
280	279	impancom 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) /\ E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t ) -> ( -. s <_ t -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
281	280	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ t e. ( 0 [,] A ) ) -> ( ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
282	281	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( E. t e. ( 0 [,] A ) ( E. y e. RR+ A. z e. ( y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ t /\ -. s <_ t ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
283	218, 282	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
284		ssrexv 3667	. . . 4 |- ( RR+ C_ RR -> ( E. y e. RR+ A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
285	1, 283, 284	mpsyl 68	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
286	285	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) )
287	263	recnd 10068	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
288	287	rgen 2922	. . . 4 |- A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC
289	288	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
290	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
291		1cnd 10056	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
292	289, 290, 291	rlim2 14227	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 <-> A. s e. RR+ E. y e. RR A. x e. RR+ ( y <_ x -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) < s ) ) )
293	286, 292	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-chp 24825

This theorem is referenced by:  pntleml  25300