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Theorem xrlimcnp 24695

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the corresponding extended real function at

. Since any

limit can be written in the form on the left side of the implication, this shows that real limits are a special case of topological continuity at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xrlimcnp.a
xrlimcnp.b
xrlimcnp.r	$/\$
xrlimcnp.c
xrlimcnp.j	ℂ_fld
xrlimcnp.k	ordTop ↾_t

**Assertion**
Ref	Expression
xrlimcnp

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem xrlimcnp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlimcnp.r	. . . . 5 $/\$
2		eqid 2622	. . . . 5
3	1, 2	fmptd 6385	. . . 4
4	3	adantr 481	. . 3 $/\$
5		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10
6		pnfex 10093	. . . . . . . . . . 11
7	6	snid 4208	. . . . . . . . . 10
8	5, 7	sselii 3600	. . . . . . . . 9
9		xrlimcnp.a	. . . . . . . . 9
10	8, 9	syl5eleqr 2708	. . . . . . . 8
11	1	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9
12		xrlimcnp.c	. . . . . . . . . . 11
13	12	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10
14	13	rspcv 3305	. . . . . . . . 9
15	10, 11, 14	sylc 65	. . . . . . . 8
16	12, 2	fvmptg 6280	. . . . . . . 8 $/\$
17	10, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . 7
18	17	ad2antrr 762	. . . . . 6 $/\$ $/\$
19	18	eleq1d 2686	. . . . 5 $/\$ $/\$
20		cnxmet 22576	. . . . . . . 8
21		xrlimcnp.j	. . . . . . . . . 10 ℂ_fld
22	21	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . 9
23	22	mopni2 22298	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
24	20, 23	mp3an1 1411	. . . . . . 7 $/\$
25		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . 13
26	25, 9	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . 12
27		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . 12
28	26, 11, 27	sylc 65	. . . . . . . . . . 11
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
30		simprl 794	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
31		simplr 792	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	29, 30, 31	rlimi 14244	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33		letop 21010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ordTop
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ordTop
35		xrlimcnp.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	35, 36	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40	39	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	37, 40	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
42	9, 41	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43		xrex 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	43	ssex 4802	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		iocpnfordt 21019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ordTop
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ordTop
49		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . 14 ordTop $/\$ $/\$ ordTop ordTop ↾_t
50	34, 46, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ordTop ↾_t
51		xrlimcnp.k	. . . . . . . . . . . . 13 ordTop ↾_t
52	50, 51	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	53, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		ubioc1 12227	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
59	54, 55, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	59, 60	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	62	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		elioc1 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
65	63, 38, 64	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
67	65, 66	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
69	68	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
71	62, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	67, 71	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	15	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
80	79	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		elbl3 22197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
82	73, 77, 78, 80, 81	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
84	83	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
85	80, 78, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	82, 86	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	72, 88	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
91	90	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		blcntr 22218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
96	92, 93, 94, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
99	12	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
100	98, 99	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101	6, 100	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102	97, 101	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
104	91, 102, 103	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	104, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		ss2rab 3678	. . . . . . . . . . . . . . . 16
109	107, 108	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111		dfin5 3582	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112	110, 111	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	2	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	109, 112, 113	3sstr4g 3646	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115		funmpt 5926	. . . . . . . . . . . . . . 15
116		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . 16
117	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	116, 119	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121		funimass3 6333	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
122	115, 120, 121	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	114, 122	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	123, 124	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14
127		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	127	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14
129	126, 128	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
130	129	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	52, 61, 125, 130	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	32, 133	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	rexlimdvaa 3032	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
136	24, 135	syl5 34	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	expdimp 453	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
138	19, 137	sylbid 230	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
139	138	ralrimiva 2966	. . 3 $/\$ $/\$
140		letopon 21009	. . . . . . 7 ordTop TopOn
141		resttopon 20965	. . . . . . 7 ordTop TopOn $/\$ ordTop ↾_t TopOn
142	140, 42, 141	sylancr 695	. . . . . 6 ordTop ↾_t TopOn
143	51, 142	syl5eqel 2705	. . . . 5 TopOn
144	21	cnfldtopon 22586	. . . . . 6 TopOn
145	144	a1i 11	. . . . 5 TopOn
146		iscnp 21041	. . . . 5 TopOn $/\$ TopOn $/\$ $/\$ $/\$
147	143, 145, 10, 146	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$ $/\$
148	147	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
149	4, 139, 148	mpbir2and 957	. 2 $/\$
150		simplr 792	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
151	20	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
152	15	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
153	76	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
154	22	blopn 22305	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
155	151, 152, 153, 154	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
156	17	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
157		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
158	151, 152, 157, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
159	156, 158	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
160		cnpimaex 21060	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
161	150, 155, 159, 160	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
162		vex 3203	. . . . . . . . 9
163	162	inex1 4799	. . . . . . . 8
164	163	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ ordTop
165	51	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 ordTop ↾_t
166	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
167		elrest 16088	. . . . . . . . 9 ordTop $/\$ ordTop ↾_t ordTop
168	33, 166, 167	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ ordTop ↾_t ordTop
169	165, 168	syl5bb 272	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ordTop
170		eleq2 2690	. . . . . . . . 9
171		imaeq2 5462	. . . . . . . . . 10
172	171	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9
173	170, 172	anbi12d 747	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
174	173	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	164, 169, 174	rexxfr2d 4883	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ ordTop $/\$
176	161, 175	mpbid 222	. . . . 5 $/\$ $/\$ ordTop $/\$
177		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12
178	177	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11
179		pnfnei 21024	. . . . . . . . . . 11 ordTop $/\$
180	178, 179	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 ordTop $/\$
181		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . 16
182		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
183		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
184	182, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
185	184	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . 16
186	181, 185	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15
187	186	sseq1i 3629	. . . . . . . . . . . . . 14
188		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . 14
189	187, 188	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13
190	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
191		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
192	182, 190, 191	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
193		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
194		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195	193, 194	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . . . . 15
196	192, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
197	196	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
198	189, 197	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
199		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	37	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202	200, 201	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
203		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
205	202, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	206	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	207, 38, 64	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
209	202, 203, 205, 208	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
210	199, 209	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
211	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
212	211	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
213	212	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
214	210, 213	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
215	214	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
216	215	imim1d 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
217	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
219	218	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
220	15	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
221	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
222	221	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
223	222	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
224	217, 219, 220, 223, 81	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
225	223, 220, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
227	224, 226	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
228	227	pm5.74da 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	216, 228	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	229	exp4a 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
231	230	ralimdv2 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
232	231	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	232	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	233	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
235	234	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
236	235	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
237	198, 236	syld 47	. . . . . . . . . . 11 $/\$
238	237	com23 86	. . . . . . . . . 10 $/\$
239	180, 238	syl5 34	. . . . . . . . 9 $/\$ ordTop $/\$
240	239	impl 650	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ ordTop $/\$
241	240	expimpd 629	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ordTop $/\$
242	241	rexlimdva 3031	. . . . . 6 $/\$ ordTop $/\$
243	242	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$ ordTop $/\$
244	176, 243	mpd 15	. . . 4 $/\$ $/\$
245	244	ralrimiva 2966	. . 3 $/\$
246	28, 35, 15	rlim2lt 14228	. . . 4
247	246	adantr 481	. . 3 $/\$
248	245, 247	mpbird 247	. 2 $/\$
249	149, 248	impbida 877	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

cun 3572

cin 3573

wss 3574

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

cima 5117

ccom 5118

wfun 5882

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

crp 11832

cioc 12176

cabs 13974

crli 14216 ↾_t crest 16081

ctopn 16082 ordTopcordt 16159

cxmt 19731

cbl 19733 ℂ_fldccnfld 19746

ctop 20698 TopOnctopon 20715

ccnp 21029

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-rlim 14220 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-rest 16083 df-topn 16084 df-topgen 16104 df-ordt 16161 df-ps 17200 df-tsr 17201 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cnp 21032 df-xms 22125 df-ms 22126

This theorem is referenced by: (None)

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