Theorem o1resb 14297

Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimresb.1	|- ( ph -> F : A --> CC )
rlimresb.2	|- ( ph -> A C_ RR )
rlimresb.3	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
o1resb	|- ( ph -> ( F e. O(1) <-> ( F |` ( B [,) +oo ) ) e. O(1) ) )

Proof of Theorem o1resb

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1res 14291	. 2 |- ( F e. O(1) -> ( F |` ( B [,) +oo ) ) e. O(1) )
2		rlimresb.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> CC )
3	2	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
4	3	reseq1d 5395	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( B [,) +oo ) ) = ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( B [,) +oo ) ) )
5		resmpt3 5450	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( B [,) +oo ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) )
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( B [,) +oo ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) )
7	6	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ph -> ( ( F |` ( B [,) +oo ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) e. O(1) ) )
8		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ A
9		rlimresb.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
10	8, 9	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ RR )
11	8	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> x e. A )
12		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> CC /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
13	2, 11, 12	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
14	10, 13	elo1mpt 14265	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) e. O(1) <-> E. y e. RR E. z e. RR A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) )
15		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) )
16	15	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) )
17		impexp 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) ) )
18	16, 17	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) ) )
19		impexp 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( B [,) +oo ) /\ y <_ x ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) )
20		rlimresb.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
22	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> A C_ RR )
23	22	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
24		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. RR -> ( x e. ( B [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x ) ) )
25	24	baibd 948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( B [,) +oo ) <-> B <_ x ) )
26	21, 23, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. ( B [,) +oo ) <-> B <_ x ) )
27	26	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( x e. ( B [,) +oo ) /\ y <_ x ) <-> ( B <_ x /\ y <_ x ) ) )
28		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
29		maxle 12022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR /\ x e. RR ) -> ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x <-> ( B <_ x /\ y <_ x ) ) )
30	21, 28, 23, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x <-> ( B <_ x /\ y <_ x ) ) )
31	27, 30	bitr4d 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( x e. ( B [,) +oo ) /\ y <_ x ) <-> if ( B <_ y , y , B ) <_ x ) )
32	31	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. ( B [,) +oo ) /\ y <_ x ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) <-> ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) )
33	19, 32	syl5bbr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) <-> ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) )
34	33	pm5.74da 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) ) <-> ( x e. A -> ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) ) )
35	18, 34	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) <-> ( x e. A -> ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) ) )
36	35	ralbidv2 2984	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) <-> A. x e. A ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) )
37	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> F : A --> CC )
38		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> y e. RR )
39	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> B e. RR )
40	38, 39	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> if ( B <_ y , y , B ) e. RR )
41		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> z e. RR )
42		elo12r 14259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ ( if ( B <_ y , y , B ) e. RR /\ z e. RR ) /\ A. x e. A ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) ) -> F e. O(1) )
43	42	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ ( if ( B <_ y , y , B ) e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( A. x e. A ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) -> F e. O(1) ) )
44	37, 22, 40, 41, 43	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( A. x e. A ( if ( B <_ y , y , B ) <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) -> F e. O(1) ) )
45	36, 44	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) -> F e. O(1) ) )
46	45	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR E. z e. RR A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( y <_ x -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ z ) -> F e. O(1) ) )
47	14, 46	sylbid 230	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) e. O(1) -> F e. O(1) ) )
48	7, 47	sylbid 230	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( B [,) +oo ) ) e. O(1) -> F e. O(1) ) )
49	1, 48	impbid2 216	1 |- ( ph -> ( F e. O(1) <-> ( F |` ( B [,) +oo ) ) e. O(1) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   abscabs 13974   O(1)co1 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-o1 14221  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  chpo1ub  25169  dchrisum0lem2a  25206  pntrsumo1  25254