Theorem pnt2 25302

Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt2	|- ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) ~~> r 1

Proof of Theorem pnt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
2		elicopnf 12269	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 2 <_ x ) )
4		chprpcl 24932	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 2 <_ x ) -> (ψ ` x ) e. RR+ )
5	3, 4	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> (ψ ` x ) e. RR+ )
6	3	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR )
7		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
8	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 e. RR )
9		2pos 11112	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < 2 )
11	3	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 2 <_ x )
12	7, 8, 6, 10, 11	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> 0 < x )
13	6, 12	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
14	5, 13	rpdivcld 11889	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR+ )
15	14	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR+ )
16		chtrpcl 24901	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ 2 <_ x ) -> ( theta ` x ) e. RR+ )
17	3, 16	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) e. RR+ )
18	5, 17	rpdivcld 11889	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) e. RR+ )
19	18	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) e. RR+ )
20	13	ssriv 3607	. . . . . . 7 |- ( 2 [,) +oo ) C_ RR+
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( 2 [,) +oo ) C_ RR+ )
22		pnt3 25301	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )
24	21, 23	rlimres2 14292	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )
25		chpchtlim 25168	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) ) ~~> r 1
26	25	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) ) ~~> r 1 )
27		ax-1ne0 10005	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 1 =/= 0 )
29	19	rpne0d 11877	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 2 [,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) =/= 0 )
30	15, 19, 24, 26, 28, 29	rlimdiv 14376	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) ) ) ~~> r ( 1 / 1 ) )
31		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
32		chpcl 24850	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. RR )
34	33	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. CC )
35	13, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> (ψ ` x ) e. CC )
36	13	rpcnne0d 11881	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
37	5	rpcnne0d 11881	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( (ψ ` x ) e. CC /\ (ψ ` x ) =/= 0 ) )
38	17	rpcnne0d 11881	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( theta ` x ) e. CC /\ ( theta ` x ) =/= 0 ) )
39		divdivdiv 10726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (ψ ` x ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) /\ ( ( (ψ ` x ) e. CC /\ (ψ ` x ) =/= 0 ) /\ ( ( theta ` x ) e. CC /\ ( theta ` x ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) ) = ( ( (ψ ` x ) x. ( theta ` x ) ) / ( x x. (ψ ` x ) ) ) )
40	35, 36, 37, 38, 39	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) ) = ( ( (ψ ` x ) x. ( theta ` x ) ) / ( x x. (ψ ` x ) ) ) )
41	6	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> x e. CC )
42	41, 35	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( x x. (ψ ` x ) ) = ( (ψ ` x ) x. x ) )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (ψ ` x ) x. ( theta ` x ) ) / ( x x. (ψ ` x ) ) ) = ( ( (ψ ` x ) x. ( theta ` x ) ) / ( (ψ ` x ) x. x ) ) )
44		chtcl 24835	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( theta ` x ) e. RR )
45	31, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( theta ` x ) e. RR )
46	45	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( theta ` x ) e. CC )
47	13, 46	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( theta ` x ) e. CC )
48		divcan5 10727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( theta ` x ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( (ψ ` x ) e. CC /\ (ψ ` x ) =/= 0 ) ) -> ( ( (ψ ` x ) x. ( theta ` x ) ) / ( (ψ ` x ) x. x ) ) = ( ( theta ` x ) / x ) )
49	47, 36, 37, 48	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (ψ ` x ) x. ( theta ` x ) ) / ( (ψ ` x ) x. x ) ) = ( ( theta ` x ) / x ) )
50	40, 43, 49	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) ) = ( ( theta ` x ) / x ) )
51	50	mpteq2ia 4740	. . . . 5 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / x ) )
52		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( ( 2 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) |` ( 2 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) )
53	20, 52	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) |` ( 2 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( theta ` x ) / x ) )
54	51, 53	eqtr4i 2647	. . . 4 |- ( x e. ( 2 [,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( (ψ ` x ) / ( theta ` x ) ) ) ) = ( ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) |` ( 2 [,) +oo ) )
55		1div1e1 10717	. . . 4 |- ( 1 / 1 ) = 1
56	30, 54, 55	3brtr3g 4686	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) |` ( 2 [,) +oo ) ) ~~> r 1 )
57		rerpdivcl 11861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( theta ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( theta ` x ) / x ) e. RR )
58	45, 57	mpancom 703	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( ( theta ` x ) / x ) e. RR )
59	58	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( theta ` x ) / x ) e. RR )
60	59	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( theta ` x ) / x ) e. CC )
61		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) )
62	60, 61	fmptd 6385	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) : RR+ --> CC )
63		rpssre 11843	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
64	63	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> RR+ C_ RR )
65	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 2 e. RR )
66	62, 64, 65	rlimresb 14296	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) ~~> r 1 <-> ( ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) |` ( 2 [,) +oo ) ) ~~> r 1 ) )
67	56, 66	mpbird 247	. 2 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) ~~> r 1 )
68	67	trud 1493	1 |- ( x e. RR+ |-> ( ( theta ` x ) / x ) ) ~~> r 1

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ~~> r crli 14216   thetaccht 24817  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  pnt  25303