Theorem cxp2lim 24703

Description: Any power grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxp2lim	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) ~~> r 0 )

Distinct variable groups:   A, n   B, n

Proof of Theorem cxp2lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
2		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) )
4	3	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> n e. RR )
5		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> 0 e. RR )
6	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 e. RR )
7		0lt1 10550	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> 0 < 1 )
9	3	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 <_ n )
10	5, 6, 4, 8, 9	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> 0 < n )
11	4, 10	elrpd 11869	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> n e. RR+ )
12	11	ssriv 3607	. . . 4 |- ( 1 [,) +oo ) C_ RR+
13		resmpt 5449	. . . 4 |- ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( n e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( n e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) )
15		0red 10041	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 0 e. RR )
16	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ )
17		rpre 11839	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. RR+ -> n e. RR )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> n e. RR )
19		rpge0 11845	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. RR+ -> 0 <_ n )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> 0 <_ n )
21		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> B e. RR )
22		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> 0 e. RR )
23	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> 1 e. RR )
24	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> 0 < 1 )
25		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> 1 < B )
26	22, 23, 21, 24, 25	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> 0 < B )
27	21, 26	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> B e. RR+ )
28	27, 18	rpcxpcld 24476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( B ^c n ) e. RR+ )
29		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> A e. RR )
30		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) e. RR )
31	29, 1, 30	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) e. RR )
32	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 1 e. RR )
33	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 0 < 1 )
34		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> 1 <_ if ( 1 <_ A , A , 1 ) )
35	1, 29, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 1 <_ if ( 1 <_ A , A , 1 ) )
36	15, 32, 31, 33, 35	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 0 < if ( 1 <_ A , A , 1 ) )
37	31, 36	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) e. RR+ )
38	37	rprecred 11883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) e. RR )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) e. RR )
40	28, 39	rpcxpcld 24476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) e. RR+ )
41	31	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) e. CC )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) e. CC )
43	18, 20, 40, 42	divcxpd 24468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( n / ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) = ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) )
44	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) e. RR+ )
45	44	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) =/= 0 )
46	42, 45	recid2d 10797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) x. if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) = 1 )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( B ^c n ) ^c ( ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) x. if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) = ( ( B ^c n ) ^c 1 ) )
48	28, 39, 42	cxpmuld 24480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( B ^c n ) ^c ( ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) x. if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) = ( ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) )
49	28	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( B ^c n ) e. CC )
50	49	cxp1d 24452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( B ^c n ) ^c 1 ) = ( B ^c n ) )
51	47, 48, 50	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) = ( B ^c n ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) = ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) )
53	43, 52	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( n / ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) = ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) )
54	53	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( n / ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) = ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) ) )
55		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( n / ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) e. _V )
56	18	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> n e. CC )
57	38	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) e. CC )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) e. CC )
59	56, 58	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( n x. ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) = ( ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) x. n ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( B ^c ( n x. ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) = ( B ^c ( ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) x. n ) ) )
61	27, 18, 58	cxpmuld 24480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( B ^c ( n x. ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) = ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) )
62	27, 39, 56	cxpmuld 24480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( B ^c ( ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) x. n ) ) = ( ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c n ) )
63	60, 61, 62	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) = ( ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c n ) )
64	63	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( n / ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) = ( n / ( ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c n ) ) )
65	64	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( n / ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) ) = ( n e. RR+ |-> ( n / ( ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c n ) ) ) )
66		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> B e. RR )
67		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 1 < B )
68	15, 32, 66, 33, 67	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 0 < B )
69	66, 68	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> B e. RR+ )
70	69, 38	rpcxpcld 24476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) e. RR+ )
71	70	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) e. RR )
72	57	1cxpd 24453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( 1 ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) = 1 )
73		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 0 <_ 1 )
75	69	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 0 <_ B )
76	37	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) e. RR+ )
77	32, 74, 66, 75, 76	cxplt2d 24472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( 1 < B <-> ( 1 ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) < ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) )
78	67, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( 1 ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) < ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) )
79	72, 78	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> 1 < ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) )
80		cxp2limlem 24702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) e. RR /\ 1 < ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) -> ( n e. RR+ |-> ( n / ( ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c n ) ) ) ~~> r 0 )
81	71, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( n / ( ( B ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ^c n ) ) ) ~~> r 0 )
82	65, 81	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( n / ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) ) ~~> r 0 )
83	55, 82, 37	rlimcxp 24700	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( n / ( ( B ^c n ) ^c ( 1 / if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) ) ~~> r 0 )
84	54, 83	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) ) ~~> r 0 )
85	16, 84	rlimres2 14292	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) ) ~~> r 0 )
86		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> n e. RR+ )
87	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) e. RR )
88	86, 87	rpcxpcld 24476	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) e. RR+ )
89	88, 28	rpdivcld 11889	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) e. RR+ )
90	89	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) e. RR )
91	11, 90	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) e. RR )
92		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
93	86, 92	rpcxpcld 24476	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c A ) e. RR+ )
94	93, 28	rpdivcld 11889	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) e. RR+ )
95	11, 94	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) e. RR+ )
96	95	rpred 11872	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) e. RR )
97	11, 93	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( n ^c A ) e. RR+ )
98	97	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( n ^c A ) e. RR )
99	11, 88	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) e. RR+ )
100	99	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) e. RR )
101	11, 28	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( B ^c n ) e. RR+ )
102	4	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> n e. RR )
103	9	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ n )
104		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> A e. RR )
105	31	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> if ( 1 <_ A , A , 1 ) e. RR )
106		max2 12018	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> A <_ if ( 1 <_ A , A , 1 ) )
107	1, 104, 106	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> A <_ if ( 1 <_ A , A , 1 ) )
108	102, 103, 104, 105, 107	cxplead 24467	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( n ^c A ) <_ ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) )
109	98, 100, 101, 108	lediv1dd 11930	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) <_ ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) )
110	109	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ ( n e. ( 1 [,) +oo ) /\ 0 <_ n ) ) -> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) <_ ( ( n ^c if ( 1 <_ A , A , 1 ) ) / ( B ^c n ) ) )
111	95	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 <_ ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) )
112	111	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ ( n e. ( 1 [,) +oo ) /\ 0 <_ n ) ) -> 0 <_ ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) )
113	15, 15, 85, 91, 96, 110, 112	rlimsqz2 14381	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) ~~> r 0 )
114	14, 113	syl5eqbr 4688	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) ~~> r 0 )
115	94	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) e. CC )
116		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) = ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) )
117	115, 116	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) : RR+ --> CC )
118		rpssre 11843	. . . 4 |- RR+ C_ RR
119	118	a1i 11	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> RR+ C_ RR )
120	117, 119, 32	rlimresb 14296	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) ~~> r 0 <-> ( ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) ~~> r 0 ) )
121	114, 120	mpbird 247	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 1 < B ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( n ^c A ) / ( B ^c n ) ) ) ~~> r 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ~~> r crli 14216   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by: (None)