Theorem sgncl 30600

Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgncl	|- ( A e. RR* -> (sgn ` A ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )

Proof of Theorem sgncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ A = 0 ) -> A = 0 )
2	1	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ A = 0 ) -> (sgn ` A ) = (sgn ` 0 ) )
3		sgn0 13829	. . . 4 |- (sgn ` 0 ) = 0
4	2, 3	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ A = 0 ) -> (sgn ` A ) = 0 )
5		c0ex 10034	. . . 4 |- 0 e. _V
6	5	tpid2 4304	. . 3 |- 0 e. { -u 1 , 0 , 1 }
7	4, 6	syl6eqel 2709	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ A = 0 ) -> (sgn ` A ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
8		sgnn 13834	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ A < 0 ) -> (sgn ` A ) = -u 1 )
9		negex 10279	. . . . . 6 |- -u 1 e. _V
10	9	tpid1 4303	. . . . 5 |- -u 1 e. { -u 1 , 0 , 1 }
11	8, 10	syl6eqel 2709	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ A < 0 ) -> (sgn ` A ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
12	11	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ A =/= 0 ) /\ A < 0 ) -> (sgn ` A ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
13		sgnp 13830	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ 0 < A ) -> (sgn ` A ) = 1 )
14		1ex 10035	. . . . . 6 |- 1 e. _V
15	14	tpid3 4307	. . . . 5 |- 1 e. { -u 1 , 0 , 1 }
16	13, 15	syl6eqel 2709	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ 0 < A ) -> (sgn ` A ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
17	16	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ A =/= 0 ) /\ 0 < A ) -> (sgn ` A ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
18		0xr 10086	. . . 4 |- 0 e. RR*
19		xrlttri2 11975	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( A =/= 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
20	19	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ A =/= 0 ) -> ( A < 0 \/ 0 < A ) )
21	18, 20	mpanl2 717	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= 0 ) -> ( A < 0 \/ 0 < A ) )
22	12, 17, 21	mpjaodan 827	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= 0 ) -> (sgn ` A ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )
23	7, 22	pm2.61dane 2881	1 |- ( A e. RR* -> (sgn ` A ) e. { -u 1 , 0 , 1 } )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {ctp 4181   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   -ucneg 10267  sgncsgn 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-neg 10269  df-sgn 13827

This theorem is referenced by:  sgnclre  30601  sgnmulsgn  30611  sgnmulsgp  30612  signstcl  30642  signstf  30643  signstf0  30645  signstfvn  30646  signsvtn0  30647  signstfvneq0  30649  signsvfn  30659