Nearby theorems
|
|
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > signstfvneq0 | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: In case the first letter is not zero, the zero skipping sign is never zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| signsv.p |
                |
| signsv.w |
    
  |
| signsv.t |
  Word  
..^  g   sgn |
| signsv.v |
 Word  ..^   |
| Ref | Expression |
|---|---|
| signstfvneq0 |
 Word ![\](setminus.gif "\"){kind=small}
 ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}
 ..^  |
,, ,,, ,,, ,, ,,,
(,,,)
(,,)
(,,)
(,,,) (,,,,,) (,,)
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpll 790 |
. . 3
Word
..^
Word | |
| 2 | 1 | eldifad 3586 |
. 2
Word
..^
Word |
| 3 | eldifsni 4320 |
. . . 4
Word | |
| 4 | 3 | ad2antrr 762 |
. . 3
Word
..^ |
| 5 | simplr 792 |
. . 3
Word
..^ | |
| 6 | 4, 5 | jca 554 |
. 2
Word
..^ |
| 7 | simpr 477 |
. 2
Word
..^
..^ | |
| 8 | simprr 796 |
. . 3
Word
..^ ..^ | |
| 9 | neeq1 2856 |
. . . . . . . 8
 | |
| 10 | fveq1 6190 |
. . . . . . . . 9
| |
| 11 | 10 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . 8
|
| 12 | 9, 11 | anbi12d 747 |
. . . . . . 7
|
| 13 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . 9
| |
| 14 | 13 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 15 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 16 | 15 | fveq1d 6193 |
. . . . . . . . 9
|
| 17 | 16 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . 8
|
| 18 | 14, 17 | raleqbidv 3152 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 19 | 12, 18 | imbi12d 334 |
. . . . . 6
..^
..^ |
| 20 | neeq1 2856 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | fveq1 6190 |
. . . . . . . . 9
| |
| 22 | 21 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . 8
|
| 23 | 20, 22 | anbi12d 747 |
. . . . . . 7
|
| 24 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . 9
| |
| 25 | 24 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 26 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 27 | 26 | fveq1d 6193 |
. . . . . . . . 9
|
| 28 | 27 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . 8
|
| 29 | 25, 28 | raleqbidv 3152 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 30 | 23, 29 | imbi12d 334 |
. . . . . 6
..^
..^ |
| 31 | neeq1 2856 |
. . . . . . . 8
++  
++ | |
| 32 | fveq1 6190 |
. . . . . . . . 9
++ ++ | |
| 33 | 32 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . 8
++ ++ |
| 34 | 31, 33 | anbi12d 747 |
. . . . . . 7
++ ++ ++ |
| 35 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . 9
++ ++ | |
| 36 | 35 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
++ ..^ ..^ ++ |
| 37 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . 10
++ ++ | |
| 38 | 37 | fveq1d 6193 |
. . . . . . . . 9
++ ++ |
| 39 | 38 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . 8
++ ++ |
| 40 | 36, 39 | raleqbidv 3152 |
. . . . . . 7
++ ..^
..^ ++ ++
|
| 41 | 34, 40 | imbi12d 334 |
. . . . . 6
++ ..^
++ ++ ..^ ++ ++
|
| 42 | neeq1 2856 |
. . . . . . . 8
| |
| 43 | fveq1 6190 |
. . . . . . . . 9
| |
| 44 | 43 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . 8
|
| 45 | 42, 44 | anbi12d 747 |
. . . . . . 7
|
| 46 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . 9
| |
| 47 | 46 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 48 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 49 | 48 | fveq1d 6193 |
. . . . . . . . 9
|
| 50 | 49 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . 8
|
| 51 | 47, 50 | raleqbidv 3152 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 52 | 45, 51 | imbi12d 334 |
. . . . . 6
..^
..^ |
| 53 | neirr 2803 |
. . . . . . . 8
 | |
| 54 | 53 | intnanr 961 |
. . . . . . 7
|
| 55 | 54 | pm2.21i 116 |
. . . . . 6
..^ |
| 56 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 57 | 56 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 58 | 57 | cbvralv 3171 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ |
| 59 | 58 | imbi2i 326 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 60 | 59 | anbi2i 730 |
. . . . . . . 8
Word ..^
Word
..^ |
| 61 | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . 12
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ ..^ | |
| 62 | noel 3919 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 63 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 64 | hash0 13158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 65 | 63, 64 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 66 | 65 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 67 | fzo0 12492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ | |
| 68 | 66, 67 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ |
| 69 | 68 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 70 | 62, 69 | mtbiri 317 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ |
| 71 | 70 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^
..^ |
| 72 | 61, 71 | pm2.21dd 186 |
. . . . . . . . . . 11
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ ++ |
| 73 | simp-6l 810 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ Word
| |
| 74 | simp-6r 811 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ | |
| 75 | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^
..^ | |
| 76 | signsv.p |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 77 | signsv.w |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 78 | signsv.t |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word
..^ g sgn | |
| 79 | signsv.v |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word ..^ | |
| 80 | 76, 77, 78, 79 | signstfvp 30648 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word
..^ ++ |
| 81 | 73, 74, 75, 80 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ ++
|
| 82 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ | |
| 83 | simplll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
Word | |
| 84 | 83 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ Word |
| 85 | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
..^ ++ | |
| 86 | 85 | 3anassrs 1290 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ ++ |
| 87 | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word Word
| |
| 88 | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word | |
| 89 | 88 | s1cld 13383 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word Word |
| 90 | lennncl 13325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Word  | |
| 91 | 90 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word |
| 92 | fzo0end 12560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ | |
| 93 | elfzolt3b 12482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ | |
| 94 | 91, 92, 93 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ..^ |
| 95 | ccatval1 13361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word Word ..^ ++ | |
| 96 | 87, 89, 94, 95 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ++ |
| 97 | 96 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word ++
|
| 98 | 97 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word ++ |
| 99 | 84, 82, 86, 98 | syl21anc 1325 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ |
| 100 | simp-5r 809 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^
..^ | |
| 101 | 82, 99, 100 | mp2and 715 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^
..^ |
| 102 | 57 | rspcva 3307 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^ |
| 103 | 75, 101, 102 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . 12
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ |
| 104 | 81, 103 | eqnetrd 2861 |
. . . . . . . . . . 11
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ ++
|
| 105 | 72, 104 | pm2.61dane 2881 |
. . . . . . . . . 10
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ ..^ ++ |
| 106 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ | |
| 107 | 106 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . 11
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ ++ ++ |
| 108 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ | |
| 109 | simp-4r 807 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ | |
| 110 | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ ++ ++ | |
| 111 | 110 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ ++ |
| 112 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
++
++ | |
| 113 | s1cl 13382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Word
| |
| 114 | ccatlid 13369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Word
++ | |
| 115 | 113, 114 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
++
|
| 116 | 112, 115 | sylan9eq 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
++ |
| 117 | 116 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
++ |
| 118 | 117 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
++ ++ |
| 119 | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
++ | |
| 120 | 76, 77, 78, 79 | signstf0 30645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
sgn |
| 121 | 119, 120 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
++ sgn |
| 122 | 118, 121 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
++ ++ sgn |
| 123 | 65 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
++ |
| 124 | 122, 123 | fveq12d 6197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
++ ++ sgn |
| 125 | sgnclre 30601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
sgn | |
| 126 | s1fv 13390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
sgn
sgn sgn | |
| 127 | 119, 125, 126 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
++ sgn sgn |
| 128 | 124, 127 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
++ ++ sgn |
| 129 | 116 | fveq1d 6193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
++ |
| 130 | s1fv 13390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 131 | 130 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 132 | 129, 131 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
++ |
| 133 | 132 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
++ |
| 134 | 133 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
++ |
| 135 | rexr 10085 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 | |
| 136 | sgn0bi 30609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
sgn | |
| 137 | 135, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
sgn
|
| 138 | 137 | necon3bid 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
sgn
|
| 139 | 138 | biimpar 502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
sgn |
| 140 | 119, 134, 139 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
++ sgn |
| 141 | 128, 140 | eqnetrd 2861 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
++ ++ |
| 142 | 108, 109, 111, 141 | syl21anc 1325 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ ++ |
| 143 | simplll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ++ ++ ..^ ++
Word
| |
| 144 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word ++ ++ ..^ ++
| |
| 145 | velsn 4193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 146 | 144, 145 | sylnibr 319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ++ ++ ..^ ++
|
| 147 | 143, 146 | eldifd 3585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ++ ++ ..^ ++
Word |
| 148 | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ++ ++ ..^ ++
| |
| 149 | 76, 77, 78, 79 | signstfvn 30646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word
++
sgn |
| 150 | 147, 148, 149 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word ++ ++ ..^ ++
++
sgn |
| 151 | 150 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
++
sgn |
| 152 | 144 | neqned 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Word ++ ++ ..^ ++
|
| 153 | 143, 152, 90 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word ++ ++ ..^ ++
|
| 154 | 153, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ++ ++ ..^ ++
..^ |
| 155 | 76, 77, 78, 79 | signstcl 30642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ..^ |
| 156 | 143, 154, 155 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ++ ++ ..^ ++
|
| 157 | 156 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
|
| 158 | 148 | rexrd 10089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ++ ++ ..^ ++
|
| 159 | sgncl 30600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
sgn | |
| 160 | 158, 159 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ++ ++ ..^ ++
sgn |
| 161 | 160 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
sgn |
| 162 | 154 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
..^ |
| 163 | 152 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
|
| 164 | simplll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
Word | |
| 165 | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
++ ++ | |
| 166 | 165 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
++ |
| 167 | 164, 163, 166, 98 | syl21anc 1325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
|
| 168 | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
..^ | |
| 169 | 163, 167, 168 | mp2and 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
..^ |
| 170 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 171 | 170 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 172 | 171 | rspcva 3307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
..^ |
| 173 | 162, 169, 172 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
|
| 174 | 76, 77 | signswn0 30637 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
sgn
sgn |
| 175 | 157, 161, 173, 174 | syl21anc 1325 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
sgn |
| 176 | 151, 175 | eqnetrd 2861 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
++
|
| 177 | 142, 176 | pm2.61dan 832 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word ..^ ++ ++ ..^ ++ ++ |
| 178 | 177 | anassrs 680 |
. . . . . . . . . . . 12
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
++ |
| 179 | 178 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ ++ |
| 180 | 107, 179 | eqnetrd 2861 |
. . . . . . . . . 10
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ ++ |
| 181 | lencl 13324 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word
 | |
| 182 | nn0uz 11722 |
. . . . . . . . . . . . 13
 | |
| 183 | 181, 182 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . . . . . . 12
Word
|
| 184 | 183 | ad4antr 768 |
. . . . . . . . . . 11
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
|
| 185 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
..^ ++ | |
| 186 | ccatws1len 13398 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word
++  | |
| 187 | 186 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word
..^ ++ ..^ |
| 188 | 187 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word
..^ ++ ..^ |
| 189 | 188 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . . 12
Word ..^ ++
..^ |
| 190 | 83, 185, 189 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . 11
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
..^ |
| 191 | fzosplitsni 12579 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^  | |
| 192 | 191 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 193 | 184, 190, 192 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
..^ |
| 194 | 105, 180, 193 | mpjaodan 827 |
. . . . . . . . 9
Word
..^ ++ ++ ..^ ++
++ |
| 195 | 194 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . 8
Word ..^ ++ ++
..^ ++ ++
|
| 196 | 60, 195 | sylanbr 490 |
. . . . . . 7
Word ..^ ++ ++
..^ ++ ++
|
| 197 | 196 | exp31 630 |
. . . . . 6
Word
..^ ++ ++ ..^ ++ ++
|
| 198 | 19, 30, 41, 52, 55, 197 | wrdind 13476 |
. . . . 5
Word
..^ |
| 199 | 198 | imp 445 |
. . . 4
Word
..^ |
| 200 | 199 | adantrr 753 |
. . 3
Word
..^ ..^ |
| 201 | fveq2 6191 |
. . . . 5
| |
| 202 | 201 | neeq1d 2853 |
. . . 4
|
| 203 | 202 | rspcva 3307 |
. . 3
..^
..^ |
| 204 | 8, 200, 203 | syl2anc 693 |
. 2
Word
..^ |
| 205 | 2, 6, 7, 204 | syl12anc 1324 |
1
Word
..^ |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wb 196 wo 383 wa 384 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 wne 2794 wral 2912 cdif 3571 c0 3915 cif 4086 csn 4177 cpr 4179 ctp 4181 cop 4183 cmpt 4729 cfv 5888 (class class class)co 6650
cmpt2 6652 cr 9935 cc0 9936 c1 9937 caddc 9939 cxr 10073 cmin 10266 cneg 10267 cn 11020 cn0 11292 cuz 11687 cfz 12326 ..^cfzo 12465
chash 13117 Word cword 13291 ++ cconcat 13293 cs1 13294 sgncsgn 13826
csu 14416
cnx 15854
cbs 15857
cplusg 15941 g cgsu 16101 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-concat 13301 df-s1 13302 df-substr 13303 df-sgn 13827 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-plusg 15954 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mulg 17541 df-cntz 17750 |
| This theorem is referenced by: signstfvcl 30650 |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |