Theorem ballotth 30599

Description: Bertrand's ballot problem : the probability that A is ahead throughout the counting. This is Metamath 100 proof #30. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotth	|- ( P ` E ) = ( ( M - N ) / ( M + N ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   i, E, k   k, I, c   E, c   i, I, c   S, k, i, c   R, i, k   x, c, F   x, M   x, N, k, i   x, E   x, O

Allowed substitution hints:   P( x, i, k, c)   R( x, c)   S( x)   I( x)

Proof of Theorem ballotth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.e	. . . . . 6 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
2		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) } C_ O
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . 5 |- E C_ O
4		fzfi 12771	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
5		pwfi 8261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin <-> ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin )
6	4, 5	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
7		ballotth.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
8		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
9	7, 8	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- O C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
10		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ O C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> O e. Fin )
11	6, 9, 10	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- O e. Fin
12		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. Fin /\ E C_ O ) -> E e. Fin )
13	11, 3, 12	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- E e. Fin
14	13	elexi 3213	. . . . . . 7 |- E e. _V
15	14	elpw 4164	. . . . . 6 |- ( E e. ~P O <-> E C_ O )
16		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = E -> ( # ` x ) = ( # ` E ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = E -> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) ) )
18		ballotth.p	. . . . . . 7 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
19		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( # ` E ) / ( # ` O ) ) e. _V
20	17, 18, 19	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( E e. ~P O -> ( P ` E ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) ) )
21	15, 20	sylbir 225	. . . . 5 |- ( E C_ O -> ( P ` E ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) ) )
22	3, 21	ax-mp 5	. . . 4 |- ( P ` E ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) )
23		hashssdif 13200	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. Fin /\ E C_ O ) -> ( # ` ( O \ E ) ) = ( ( # ` O ) - ( # ` E ) ) )
24	11, 3, 23	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( # ` ( O \ E ) ) = ( ( # ` O ) - ( # ` E ) )
25	24	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( ( # ` O ) - ( # ` E ) ) = ( # ` ( O \ E ) )
26		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( O e. Fin -> ( # ` O ) e. NN0 )
27	11, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` O ) e. NN0
28	27	nn0cni 11304	. . . . . . 7 |- ( # ` O ) e. CC
29		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> ( # ` E ) e. NN0 )
30	13, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` E ) e. NN0
31	30	nn0cni 11304	. . . . . . 7 |- ( # ` E ) e. CC
32		difss 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( O \ E ) C_ O
33		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. Fin /\ ( O \ E ) C_ O ) -> ( O \ E ) e. Fin )
34	11, 32, 33	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( O \ E ) e. Fin
35		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( ( O \ E ) e. Fin -> ( # ` ( O \ E ) ) e. NN0 )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( O \ E ) ) e. NN0
37	36	nn0cni 11304	. . . . . . 7 |- ( # ` ( O \ E ) ) e. CC
38	28, 31, 37	subsub23i 10371	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` O ) - ( # ` E ) ) = ( # ` ( O \ E ) ) <-> ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) = ( # ` E ) )
39	25, 38	mpbi 220	. . . . 5 |- ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) = ( # ` E )
40	39	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` E ) / ( # ` O ) )
41	22, 40	eqtr4i 2647	. . 3 |- ( P ` E ) = ( ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) / ( # ` O ) )
42		ballotth.m	. . . . . . 7 |- M e. NN
43		ballotth.n	. . . . . . 7 |- N e. NN
44	42, 43, 7	ballotlem1 30548	. . . . . 6 |- ( # ` O ) = ( ( M + N ) _C M )
45	42	nnnn0i 11300	. . . . . . . . 9 |- M e. NN0
46		nnaddcl 11042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
47	42, 43, 46	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. NN
48	47	nnnn0i 11300	. . . . . . . . 9 |- ( M + N ) e. NN0
49	42	nnrei 11029	. . . . . . . . . 10 |- M e. RR
50	43	nnnn0i 11300	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN0
51	49, 50	nn0addge1i 11341	. . . . . . . . 9 |- M <_ ( M + N )
52		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... ( M + N ) ) <-> ( M e. NN0 /\ ( M + N ) e. NN0 /\ M <_ ( M + N ) ) )
53	45, 48, 51, 52	mpbir3an 1244	. . . . . . . 8 |- M e. ( 0 ... ( M + N ) )
54		bccl2 13110	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> ( ( M + N ) _C M ) e. NN )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( M + N ) _C M ) e. NN
56	55	nnne0i 11055	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) _C M ) =/= 0
57	44, 56	eqnetri 2864	. . . . 5 |- ( # ` O ) =/= 0
58	28, 57	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( ( # ` O ) e. CC /\ ( # ` O ) =/= 0 )
59		divsubdir 10721	. . . 4 |- ( ( ( # ` O ) e. CC /\ ( # ` ( O \ E ) ) e. CC /\ ( ( # ` O ) e. CC /\ ( # ` O ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` O ) / ( # ` O ) ) - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) ) )
60	28, 37, 58, 59	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( ( # ` O ) - ( # ` ( O \ E ) ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` O ) / ( # ` O ) ) - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) )
61	28, 57	dividi 10758	. . . 4 |- ( ( # ` O ) / ( # ` O ) ) = 1
62	61	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( ( # ` O ) / ( # ` O ) ) - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) ) = ( 1 - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) )
63	41, 60, 62	3eqtri 2648	. 2 |- ( P ` E ) = ( 1 - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) )
64		ballotth.f	. . . . . . 7 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
65		ballotth.mgtn	. . . . . . 7 |- N < M
66		ballotth.i	. . . . . . 7 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
67		ballotth.s	. . . . . . 7 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
68		ballotth.r	. . . . . . 7 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
69	42, 43, 7, 18, 64, 1, 65, 66, 67, 68	ballotlem8 30598	. . . . . 6 |- ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) = ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
70	69	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
71	70	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) )
72		rabxm 3961	. . . . . . 7 |- ( O \ E ) = ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } u. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
73	72	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( # ` ( O \ E ) ) = ( # ` ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } u. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
74		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ( O \ E )
75	74, 32	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ O
76	75, 9	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
77		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } e. Fin )
78	6, 76, 77	mp2an 708	. . . . . . 7 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } e. Fin
79		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ( O \ E )
80	79, 32	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ O
81	80, 9	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
82		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin )
83	6, 81, 82	mp2an 708	. . . . . . 7 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin
84		rabnc 3962	. . . . . . 7 |- ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } i^i { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) = (/)
85		hashun 13171	. . . . . . 7 |- ( ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } e. Fin /\ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin /\ ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } i^i { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) = (/) ) -> ( # ` ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } u. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) )
86	78, 83, 84, 85	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( # ` ( { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } u. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
87	73, 86	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( # ` ( O \ E ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
88	87	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) )
89		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { c e. O | -. 1 e. c } C_ O
90	11	elexi 3213	. . . . . . . . . 10 |- O e. _V
91	90	elpw2 4828	. . . . . . . . 9 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O <-> { c e. O | -. 1 e. c } C_ O )
92	89, 91	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> ( # ` x ) = ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
95		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) e. _V
96	94, 18, 95	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O -> ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
97	92, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) )
98	42, 43, 7, 18	ballotlem2 30550	. . . . . . 7 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( N / ( M + N ) )
99		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ c { c e. O | -. 1 e. c }
100		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ c { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
101	99, 100	dfss2f 3594	. . . . . . . . . . 11 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } -> c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
102	42, 43, 7, 18, 64, 1	ballotlem4 30560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. O -> ( -. 1 e. c -> -. c e. E ) )
103	102	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. O /\ -. 1 e. c ) -> ( c e. O /\ -. c e. E ) )
104		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } <-> ( c e. O /\ -. 1 e. c ) )
105		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( O \ E ) <-> ( c e. O /\ -. c e. E ) )
106	103, 104, 105	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } -> c e. ( O \ E ) )
107	104	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } -> -. 1 e. c )
108		rabid 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) )
109	106, 107, 108	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. { c e. O | -. 1 e. c } -> c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
110	101, 109	mpgbir 1726	. . . . . . . . . 10 |- { c e. O | -. 1 e. c } C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
111		rabss2 3685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O \ E ) C_ O -> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ { c e. O | -. 1 e. c } )
112	32, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ { c e. O | -. 1 e. c }
113	110, 112	eqssi 3619	. . . . . . . . 9 |- { c e. O | -. 1 e. c } = { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
114	113	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
115	114	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) )
116	97, 98, 115	3eqtr3i 2652	. . . . . 6 |- ( N / ( M + N ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) )
117	116	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
118		2cn 11091	. . . . . 6 |- 2 e. CC
119		hashcl 13147	. . . . . . . 8 |- ( { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin -> ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) e. NN0 )
120	83, 119	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) e. NN0
121	120	nn0cni 11304	. . . . . 6 |- ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) e. CC
122	118, 121, 28, 57	divassi 10781	. . . . 5 |- ( ( 2 x. ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) ) = ( 2 x. ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
123	121	2timesi 11147	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) = ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
124	123	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 2 x. ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) )
125	117, 122, 124	3eqtr2i 2650	. . . 4 |- ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) = ( ( ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) + ( # ` { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) ) / ( # ` O ) )
126	71, 88, 125	3eqtr4ri 2655	. . 3 |- ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) = ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) )
127	126	oveq2i 6661	. 2 |- ( 1 - ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) ) = ( 1 - ( ( # ` ( O \ E ) ) / ( # ` O ) ) )
128	47	nncni 11030	. . . 4 |- ( M + N ) e. CC
129	43	nncni 11030	. . . . 5 |- N e. CC
130	118, 129	mulcli 10045	. . . 4 |- ( 2 x. N ) e. CC
131	47	nnne0i 11055	. . . . 5 |- ( M + N ) =/= 0
132	128, 131	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( ( M + N ) e. CC /\ ( M + N ) =/= 0 )
133		divsubdir 10721	. . . 4 |- ( ( ( M + N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) e. CC /\ ( ( M + N ) e. CC /\ ( M + N ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) / ( M + N ) ) = ( ( ( M + N ) / ( M + N ) ) - ( ( 2 x. N ) / ( M + N ) ) ) )
134	128, 130, 132, 133	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) / ( M + N ) ) = ( ( ( M + N ) / ( M + N ) ) - ( ( 2 x. N ) / ( M + N ) ) )
135	129	2timesi 11147	. . . . . 6 |- ( 2 x. N ) = ( N + N )
136	135	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) = ( ( M + N ) - ( N + N ) )
137	42	nncni 11030	. . . . . . 7 |- M e. CC
138	137, 129, 129, 129	addsub4i 10377	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) - ( N + N ) ) = ( ( M - N ) + ( N - N ) )
139	129	subidi 10352	. . . . . . 7 |- ( N - N ) = 0
140	139	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( M - N ) + ( N - N ) ) = ( ( M - N ) + 0 )
141	137, 129	subcli 10357	. . . . . . 7 |- ( M - N ) e. CC
142	141	addid1i 10223	. . . . . 6 |- ( ( M - N ) + 0 ) = ( M - N )
143	138, 140, 142	3eqtri 2648	. . . . 5 |- ( ( M + N ) - ( N + N ) ) = ( M - N )
144	136, 143	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) = ( M - N )
145	144	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - ( 2 x. N ) ) / ( M + N ) ) = ( ( M - N ) / ( M + N ) )
146	128, 131	dividi 10758	. . . 4 |- ( ( M + N ) / ( M + N ) ) = 1
147	118, 129, 128, 131	divassi 10781	. . . 4 |- ( ( 2 x. N ) / ( M + N ) ) = ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) )
148	146, 147	oveq12i 6662	. . 3 |- ( ( ( M + N ) / ( M + N ) ) - ( ( 2 x. N ) / ( M + N ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) )
149	134, 145, 148	3eqtr3ri 2653	. 2 |- ( 1 - ( 2 x. ( N / ( M + N ) ) ) ) = ( ( M - N ) / ( M + N ) )
150	63, 127, 149	3eqtr2i 2650	1 |- ( P ` E ) = ( ( M - N ) / ( M + N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   _C cbc 13089   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118

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