Theorem stoweidlem48 40265

Description: This lemma is used to prove that x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x < ε on A. Here X is used to represent x in the paper, E is used to represent ε in the paper, and D is used to represent A in the paper (because A is always used to represent the subalgebra). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem48.1	|- F/ i ph
stoweidlem48.2	|- F/ t ph
stoweidlem48.3	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem48.4	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
stoweidlem48.5	|- X = ( seq 1 ( P , U ) ` M )
stoweidlem48.6	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
stoweidlem48.7	|- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
stoweidlem48.8	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem48.9	|- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem48.10	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem48.11	|- ( ph -> D C_ U. ran W )
stoweidlem48.12	|- ( ph -> D C_ T )
stoweidlem48.13	|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( U ` i ) ` t ) < E )
stoweidlem48.14	|- ( ph -> T e. _V )
stoweidlem48.15	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem48.16	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem48.17	|- ( ph -> E e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem48	|- ( ph -> A. t e. D ( X ` t ) < E )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, A   f, i, T, h, t   f, F, g   f, M, g   U, f, g, h, t   f, Y, g   ph, f, g   T, g   D, i   i, E   i, M   U, i   i, W

Allowed substitution hints:   ph( t, h, i)   A( i)   D( t, f, g, h)   P( t, f, g, h, i)   E( t, f, g, h)   F( t, h, i)   M( t, h)   V( t, f, g, h, i)   W( t, f, g, h)   X( t, f, g, h, i)   Y( t, h, i)   Z( t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem48

Dummy variables k j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem48.2	. 2 |- F/ t ph
2		stoweidlem48.12	. . . . . 6 |- ( ph -> D C_ T )
3	2	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> t e. T )
4		stoweidlem48.1	. . . . . 6 |- F/ i ph
5		stoweidlem48.3	. . . . . . 7 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
6		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
7		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t A
8	6, 7	nfrab 3123	. . . . . . 7 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
9	5, 8	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ t Y
10		stoweidlem48.4	. . . . . 6 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
11		stoweidlem48.5	. . . . . 6 |- X = ( seq 1 ( P , U ) ` M )
12		stoweidlem48.6	. . . . . 6 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
13		stoweidlem48.7	. . . . . 6 |- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
14		stoweidlem48.14	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. _V )
15		stoweidlem48.8	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
16		stoweidlem48.10	. . . . . 6 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
17	5	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( f e. Y <-> f e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
18		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = f -> ( h ` t ) = ( f ` t ) )
19	18	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = f -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( f ` t ) ) )
20	18	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = f -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( f ` t ) <_ 1 ) )
21	19, 20	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = f -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
22	21	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( h = f -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
23	22	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( f e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
24	17, 23	sylbb 209	. . . . . . . 8 |- ( f e. Y -> ( f e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( f ` t ) /\ ( f ` t ) <_ 1 ) ) )
25	24	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( f e. Y -> f e. A )
26		stoweidlem48.15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
27	25, 26	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
29		stoweidlem48.16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
30	1, 5, 28, 26, 29	stoweidlem16 40233	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
31	4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 27, 30	fmuldfeq 39815	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( X ` t ) = ( Z ` t ) )
32	3, 31	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( X ` t ) = ( Z ` t ) )
33		elnnuz 11724	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
34	15, 33	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
36		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i t e. T
37	4, 36	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ph /\ t e. T )
38	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) e. Y )
39		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = ( U ` i ) -> ( h ` t ) = ( ( U ` i ) ` t ) )
40	39	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = ( U ` i ) -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) ) )
41	39	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = ( U ` i ) -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
42	40, 41	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = ( U ` i ) -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
43	42	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = ( U ` i ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
44	43, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U ` i ) e. Y <-> ( ( U ` i ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
45	38, 44	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( U ` i ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
46	45	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) e. A )
47		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ph )
48	47, 46	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph /\ ( U ` i ) e. A ) )
49		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( U ` i ) -> ( f e. A <-> ( U ` i ) e. A ) )
50	49	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( U ` i ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( U ` i ) e. A ) ) )
51		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( U ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` i ) : T --> RR ) )
52	50, 51	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( U ` i ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` i ) e. A ) -> ( U ` i ) : T --> RR ) ) )
53	52, 26	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U ` i ) e. A -> ( ( ph /\ ( U ` i ) e. A ) -> ( U ` i ) : T --> RR ) )
54	46, 48, 53	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
55	54	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
56		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> t e. T )
57	55, 56	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) e. RR )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) )
59	37, 57, 58	fmptdf 6387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) : ( 1 ... M ) --> RR )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
61		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... M ) e. _V
62		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... M ) e. _V -> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V )
63	61, 62	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V )
64	12	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. T /\ ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
65	60, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
66	65	feq1d 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) : ( 1 ... M ) --> RR <-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
67	59, 66	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
68	3, 67	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( F ` t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
69	68	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` k ) e. RR )
70		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. RR /\ j e. RR ) -> ( k x. j ) e. RR )
71	70	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ ( k e. RR /\ j e. RR ) ) -> ( k x. j ) e. RR )
72	35, 69, 71	seqcl 12821	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) e. RR )
73	13	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( t e. T /\ ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) e. RR ) -> ( Z ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
74	3, 72, 73	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( Z ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
75		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ i T
76		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) )
77	75, 76	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
78	12, 77	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ i F
79		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ i t
80	78, 79	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ i ( F ` t )
81		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ i t e. D
82	4, 81	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ t e. D )
83		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j seq 1 ( x. , ( F ` t ) )
84		eqid 2622	. . . . . 6 |- seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) = seq 1 ( x. , ( F ` t ) )
85	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> M e. NN )
86		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ph )
87		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
88	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> t e. T )
89	45	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
90	89	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
91	90	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) )
92	86, 87, 88, 91	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) )
93	65	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) )
94	86, 88, 93	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) )
95	86, 88, 87, 57	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) e. RR )
96	58	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 1 ... M ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) = ( ( U ` i ) ` t ) )
97	87, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) ` i ) = ( ( U ` i ) ` t ) )
98	94, 97	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( U ` i ) ` t ) )
99	92, 98	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) ` i ) )
100	90	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. T ) -> ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 )
101	86, 87, 88, 100	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 )
102	98, 101	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) <_ 1 )
103		stoweidlem48.17	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
104	103	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> E e. RR+ )
105		stoweidlem48.11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D C_ U. ran W )
106	105	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> t e. U. ran W )
107		eluni 4439	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. U. ran W <-> E. w ( t e. w /\ w e. ran W ) )
108	106, 107	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> E. w ( t e. w /\ w e. ran W ) )
109		stoweidlem48.9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
110		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W : ( 1 ... M ) --> V -> W Fn ( 1 ... M ) )
111		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W Fn ( 1 ... M ) -> ( w e. ran W <-> E. j e. ( 1 ... M ) ( W ` j ) = w ) )
112	109, 110, 111	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( w e. ran W <-> E. j e. ( 1 ... M ) ( W ` j ) = w ) )
113	112	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. ran W ) -> E. j e. ( 1 ... M ) ( W ` j ) = w )
114	113	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. ran W ) ) -> E. j e. ( 1 ... M ) ( W ` j ) = w )
115		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ t e. w ) /\ ( W ` j ) = w ) -> t e. w )
116		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ t e. w ) /\ ( W ` j ) = w ) -> ( W ` j ) = w )
117	115, 116	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. w ) /\ ( W ` j ) = w ) -> t e. ( W ` j ) )
118	117	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. w ) -> ( ( W ` j ) = w -> t e. ( W ` j ) ) )
119	118	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. w ) -> ( E. j e. ( 1 ... M ) ( W ` j ) = w -> E. j e. ( 1 ... M ) t e. ( W ` j ) ) )
120	119	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. ran W ) ) -> ( E. j e. ( 1 ... M ) ( W ` j ) = w -> E. j e. ( 1 ... M ) t e. ( W ` j ) ) )
121	114, 120	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( t e. w /\ w e. ran W ) ) -> E. j e. ( 1 ... M ) t e. ( W ` j ) )
122	121	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( t e. w /\ w e. ran W ) -> E. j e. ( 1 ... M ) t e. ( W ` j ) ) )
123	122	exlimdv 1861	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. w ( t e. w /\ w e. ran W ) -> E. j e. ( 1 ... M ) t e. ( W ` j ) ) )
124	123	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( E. w ( t e. w /\ w e. ran W ) -> E. j e. ( 1 ... M ) t e. ( W ` j ) ) )
125	108, 124	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> E. j e. ( 1 ... M ) t e. ( W ` j ) )
126		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` j ) ) -> ph )
127		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` j ) ) -> j e. ( 1 ... M ) )
128		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` j ) ) -> t e. ( W ` j ) )
129		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i j e. ( 1 ... M )
130		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i t e. ( W ` j )
131	4, 129, 130	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. ( W ` j ) )
132		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i ( ( U ` j ) ` t ) < E
133	131, 132	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. ( W ` j ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) < E )
134		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> j e. ( 1 ... M ) ) )
135		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = j -> ( W ` i ) = ( W ` j ) )
136	135	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( t e. ( W ` i ) <-> t e. ( W ` j ) ) )
137	134, 136	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. ( W ` i ) ) <-> ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. ( W ` j ) ) ) )
138		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = j -> ( U ` i ) = ( U ` j ) )
139	138	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( ( U ` i ) ` t ) = ( ( U ` j ) ` t ) )
140	139	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( ( ( U ` i ) ` t ) < E <-> ( ( U ` j ) ` t ) < E ) )
141	137, 140	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) < E ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. ( W ` j ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) < E ) ) )
142		stoweidlem48.13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( U ` i ) ` t ) < E )
143	142	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) < E )
144	143	3impa 1259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) < E )
145	133, 141, 144	chvar 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) /\ t e. ( W ` j ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) < E )
146	126, 127, 128, 145	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` j ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) < E )
147	146	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( t e. ( W ` j ) -> ( ( U ` j ) ` t ) < E ) )
148	147	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( E. j e. ( 1 ... M ) t e. ( W ` j ) -> E. j e. ( 1 ... M ) ( ( U ` j ) ` t ) < E ) )
149	125, 148	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> E. j e. ( 1 ... M ) ( ( U ` j ) ` t ) < E )
150	82, 129	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) )
151		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i j
152	80, 151	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( ( F ` t ) ` j )
153	152	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( F ` t ) ` j ) = ( ( U ` j ) ` t )
154	150, 153	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` j ) = ( ( U ` j ) ` t ) )
155	134	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) ) )
156		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( F ` t ) ` j ) )
157	156, 139	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( U ` i ) ` t ) <-> ( ( F ` t ) ` j ) = ( ( U ` j ) ` t ) ) )
158	155, 157	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( U ` i ) ` t ) ) <-> ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` j ) = ( ( U ` j ) ` t ) ) ) )
159	154, 158, 98	chvar 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` j ) = ( ( U ` j ) ` t ) )
160	159	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( F ` t ) ` j ) < E <-> ( ( U ` j ) ` t ) < E ) )
161	160	biimprd 238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( U ` j ) ` t ) < E -> ( ( F ` t ) ` j ) < E ) )
162	161	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( E. j e. ( 1 ... M ) ( ( U ` j ) ` t ) < E -> E. j e. ( 1 ... M ) ( ( F ` t ) ` j ) < E ) )
163	149, 162	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> E. j e. ( 1 ... M ) ( ( F ` t ) ` j ) < E )
164	80, 82, 83, 84, 85, 68, 99, 102, 104, 163	fmul01lt1 39818	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) < E )
165	74, 164	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( Z ` t ) < E )
166	32, 165	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. D ) -> ( X ` t ) < E )
167	166	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( t e. D -> ( X ` t ) < E ) )
168	1, 167	ralrimi 2957	1 |- ( ph -> A. t e. D ( X ` t ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  stoweidlem51  40268