Theorem stoweidlem51 40268

Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent A in the paper, because here A is used for the subalgebra of functions. E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem51.1	|- F/ i ph
stoweidlem51.2	|- F/ t ph
stoweidlem51.3	|- F/ w ph
stoweidlem51.4	|- F/_ w V
stoweidlem51.5	|- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem51.6	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
stoweidlem51.7	|- X = ( seq 1 ( P , U ) ` M )
stoweidlem51.8	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
stoweidlem51.9	|- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
stoweidlem51.10	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem51.11	|- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
stoweidlem51.12	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem51.13	|- ( ( ph /\ w e. V ) -> w C_ T )
stoweidlem51.14	|- ( ph -> D C_ U. ran W )
stoweidlem51.15	|- ( ph -> D C_ T )
stoweidlem51.16	|- ( ph -> B C_ T )
stoweidlem51.17	|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( U ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
stoweidlem51.18	|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( U ` i ) ` t ) )
stoweidlem51.19	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem51.20	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem51.21	|- ( ph -> T e. _V )
stoweidlem51.22	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem51.23	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem51	|- ( ph -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, A   f, i, M, h, t   f, F, g   T, f, g, h, t   U, f, g, h, t   f, Y, g   ph, f, g   g, M   w, i, T   B, i   D, i   i, E   U, i   i, W, w   x, t, A   x, B   x, D   x, E   x, T   x, X

Allowed substitution hints:   ph( x, w, t, h, i)   A( w, i)   B( w, t, f, g, h)   D( w, t, f, g, h)   P( x, w, t, f, g, h, i)   U( x, w)   E( w, t, f, g, h)   F( x, w, t, h, i)   M( x, w)   V( x, w, t, f, g, h, i)   W( x, t, f, g, h)   X( w, t, f, g, h, i)   Y( x, w, t, h, i)   Z( x, w, t, f, g, h, i)

Proof of Theorem stoweidlem51

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem51.5	. . . 4 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } C_ A
3	1, 2	eqsstri 3635	. . 3 |- Y C_ A
4		stoweidlem51.6	. . . 4 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
5		stoweidlem51.7	. . . 4 |- X = ( seq 1 ( P , U ) ` M )
6		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
7		stoweidlem51.10	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
8	7	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	6, 8, 8	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
10	7	nnge1d 11063	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 <_ M )
11	7	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
12	11	leidd 10594	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ M )
13	10, 12	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 <_ M /\ M <_ M ) )
14		elfz2 12333	. . . . 5 |- ( M e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 1 <_ M /\ M <_ M ) ) )
15	9, 13, 14	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( 1 ... M ) )
16		stoweidlem51.12	. . . 4 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
17		stoweidlem51.2	. . . . 5 |- F/ t ph
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
19		stoweidlem51.20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
20		stoweidlem51.19	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	17, 1, 18, 19, 20	stoweidlem16 40233	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
22		stoweidlem51.21	. . . 4 |- ( ph -> T e. _V )
23	4, 5, 15, 16, 21, 22	fmulcl 39813	. . 3 |- ( ph -> X e. Y )
24	3, 23	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> X e. A )
25	1	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( X e. Y <-> X e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h 1
27		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ h { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
28	1, 27	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h Y
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ h ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
30	28, 28, 29	nfmpt2 6724	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
31	4, 30	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h P
32		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h U
33	26, 31, 32	nfseq 12811	. . . . . . . . . 10 |- F/_ h seq 1 ( P , U )
34		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ h M
35	33, 34	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ h ( seq 1 ( P , U ) ` M )
36	5, 35	nfcxfr 2762	. . . . . . . 8 |- F/_ h X
37		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ h A
38		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ h T
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h 0
40		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h <_
41		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h t
42	36, 41	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h ( X ` t )
43	39, 40, 42	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 |- F/ h 0 <_ ( X ` t )
44	42, 40, 26	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 |- F/ h ( X ` t ) <_ 1
45	43, 44	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ h ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 )
46	38, 45	nfral 2945	. . . . . . . 8 |- F/ h A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 )
47		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t 1
48		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
49		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t A
50	48, 49	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
51	1, 50	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t Y
52		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
53	51, 51, 52	nfmpt2 6724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
54	4, 53	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t P
55		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t U
56	47, 54, 55	nfseq 12811	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t seq 1 ( P , U )
57		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t M
58	56, 57	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( seq 1 ( P , U ) ` M )
59	5, 58	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t X
60	59	nfeq2 2780	. . . . . . . . 9 |- F/ t h = X
61		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = X -> ( h ` t ) = ( X ` t ) )
62	61	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( h = X -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( X ` t ) ) )
63	61	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( h = X -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( X ` t ) <_ 1 ) )
64	62, 63	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( h = X -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
65	60, 64	ralbid 2983	. . . . . . . 8 |- ( h = X -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
66	36, 37, 46, 65	elrabf 3360	. . . . . . 7 |- ( X e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } <-> ( X e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
67	25, 66	bitri 264	. . . . . 6 |- ( X e. Y <-> ( X e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
68	23, 67	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
69	68	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) )
70		stoweidlem51.1	. . . . 5 |- F/ i ph
71		stoweidlem51.8	. . . . 5 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
72		stoweidlem51.9	. . . . 5 |- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
73		stoweidlem51.11	. . . . 5 |- ( ph -> W : ( 1 ... M ) --> V )
74		stoweidlem51.14	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ U. ran W )
75		stoweidlem51.15	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ T )
76		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ t i e. ( 1 ... M )
77	17, 76	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) )
78	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) e. Y )
79		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = ( U ` i ) -> ( h ` t ) = ( ( U ` i ) ` t ) )
80	79	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = ( U ` i ) -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) ) )
81	79	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = ( U ` i ) -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) )
82	80, 81	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( U ` i ) -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
83	82	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( U ` i ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
84	83, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U ` i ) e. Y <-> ( ( U ` i ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( U ` i ) ` t ) /\ ( ( U ` i ) ` t ) <_ 1 ) ) )
85	84	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U ` i ) e. Y -> ( U ` i ) e. A )
86	78, 85	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) e. A )
87		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( U ` i ) -> ( f e. A <-> ( U ` i ) e. A ) )
88	87	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( U ` i ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( U ` i ) e. A ) ) )
89		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( U ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` i ) : T --> RR ) )
90	88, 89	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( U ` i ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` i ) e. A ) -> ( U ` i ) : T --> RR ) ) )
91	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. A -> ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) )
92	90, 91	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U ` i ) e. A -> ( ( ph /\ ( U ` i ) e. A ) -> ( U ` i ) : T --> RR ) )
93	92	anabsi7 860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( U ` i ) e. A ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
94	86, 93	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
96	73	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( W ` i ) e. V )
97		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ph )
98	97, 96	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph /\ ( W ` i ) e. V ) )
99		stoweidlem51.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ w ph
100		stoweidlem51.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ w V
101	100	nfel2 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ w ( W ` i ) e. V
102	99, 101	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w ( ph /\ ( W ` i ) e. V )
103		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w ( W ` i ) C_ T
104	102, 103	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ w ( ( ph /\ ( W ` i ) e. V ) -> ( W ` i ) C_ T )
105		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( W ` i ) -> ( w e. V <-> ( W ` i ) e. V ) )
106	105	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( W ` i ) -> ( ( ph /\ w e. V ) <-> ( ph /\ ( W ` i ) e. V ) ) )
107		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( W ` i ) -> ( w C_ T <-> ( W ` i ) C_ T ) )
108	106, 107	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( W ` i ) -> ( ( ( ph /\ w e. V ) -> w C_ T ) <-> ( ( ph /\ ( W ` i ) e. V ) -> ( W ` i ) C_ T ) ) )
109		stoweidlem51.13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. V ) -> w C_ T )
110	104, 108, 109	vtoclg1f 3265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W ` i ) e. V -> ( ( ph /\ ( W ` i ) e. V ) -> ( W ` i ) C_ T ) )
111	96, 98, 110	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( W ` i ) C_ T )
112	111	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> t e. T )
113	95, 112	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) e. RR )
114		stoweidlem51.22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR+ )
115	114	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. RR )
116	115	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> E e. RR )
117	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> M e. RR )
118	7	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M =/= 0 )
119	118	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> M =/= 0 )
120	116, 117, 119	redivcld 10853	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( E / M ) e. RR )
121		stoweidlem51.17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( U ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
122	121	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) < ( E / M ) )
123		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
124		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
126	7	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < M )
127	114	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E e. RR /\ 0 < E ) )
128		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( 1 <_ M <-> ( E / M ) <_ ( E / 1 ) ) )
129	123, 125, 11, 126, 127, 128	syl221anc 1337	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 <_ M <-> ( E / M ) <_ ( E / 1 ) ) )
130	10, 129	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E / M ) <_ ( E / 1 ) )
131	114	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
132	131	div1d 10793	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E / 1 ) = E )
133	130, 132	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E / M ) <_ E )
134	133	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( E / M ) <_ E )
135	113, 120, 116, 122, 134	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. ( W ` i ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) < E )
136	135	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( t e. ( W ` i ) -> ( ( U ` i ) ` t ) < E ) )
137	77, 136	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. ( W ` i ) ( ( U ` i ) ` t ) < E )
138	70, 17, 1, 4, 5, 71, 72, 7, 73, 16, 74, 75, 137, 22, 19, 20, 114	stoweidlem48 40265	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. D ( X ` t ) < E )
139		stoweidlem51.18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( U ` i ) ` t ) )
140		stoweidlem51.23	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
141	3	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( f e. Y -> f e. A )
142	141, 19	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
143		stoweidlem51.16	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ T )
144	70, 17, 51, 4, 5, 71, 72, 7, 16, 139, 114, 140, 142, 21, 22, 143	stoweidlem42 40259	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) )
145	69, 138, 144	3jca 1242	. . 3 |- ( ph -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( X ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) )
146	24, 145	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( X e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( X ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) ) )
147		eleq1 2689	. . . 4 |- ( x = X -> ( x e. A <-> X e. A ) )
148	59	nfeq2 2780	. . . . . 6 |- F/ t x = X
149		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( x ` t ) = ( X ` t ) )
150	149	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( 0 <_ ( x ` t ) <-> 0 <_ ( X ` t ) ) )
151	149	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( x ` t ) <_ 1 <-> ( X ` t ) <_ 1 ) )
152	150, 151	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
153	148, 152	ralbid 2983	. . . . 5 |- ( x = X -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
154	149	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( x ` t ) < E <-> ( X ` t ) < E ) )
155	148, 154	ralbid 2983	. . . . 5 |- ( x = X -> ( A. t e. D ( x ` t ) < E <-> A. t e. D ( X ` t ) < E ) )
156	149	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) )
157	148, 156	ralbid 2983	. . . . 5 |- ( x = X -> ( A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) )
158	153, 155, 157	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( X ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) ) )
159	147, 158	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = X -> ( ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) <-> ( X e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( X ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) ) ) )
160	159	spcegv 3294	. 2 |- ( X e. A -> ( ( X e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( X ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) ) -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) ) )
161	24, 146, 160	sylc 65	1 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  stoweidlem54  40271