Theorem stoweidlem41 40258

Description: This lemma is used to prove that there exists x as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 <= x(t) <= 1 for all t in T, x(t) < epsilon for all t in V, x(t) > 1 - epsilon for all t in T \ U. Here we prove the very last step of the proof of Lemma 1: "The result follows from taking x = 1 - q_n";. Here E is used to represent ε in the paper, and y to represent q_n in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem41.1	|- F/ t ph
stoweidlem41.2	|- X = ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) )
stoweidlem41.3	|- F = ( t e. T |-> 1 )
stoweidlem41.4	|- V C_ T
stoweidlem41.5	|- ( ph -> y e. A )
stoweidlem41.6	|- ( ph -> y : T --> RR )
stoweidlem41.7	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem41.8	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem41.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem41.10	|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( t e. T |-> w ) e. A )
stoweidlem41.11	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem41.12	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem41.13	|- ( ph -> A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) )
stoweidlem41.14	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem41	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < E /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, y   A, f, g, t   f, F, g   T, f, g, t   ph, f, g   w, t, A   x, t, A   w, T   ph, w   x, E   x, T   x, U   x, V   x, X

Allowed substitution hints:   ph( x, y, t)   A( y)   T( y)   U( y, w, t, f, g)   E( y, w, t, f, g)   F( x, y, w, t)   V( y, w, t, f, g)   X( y, w, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem41.1	. . . . 5 |- F/ t ph
2		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
3		stoweidlem41.3	. . . . . . . . 9 |- F = ( t e. T |-> 1 )
4	3	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ 1 e. RR ) -> ( F ` t ) = 1 )
5	2, 4	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = 1 )
6	5	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = 1 )
7	6	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - ( y ` t ) ) = ( 1 - ( y ` t ) ) )
8	1, 7	mpteq2da 4743	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - ( y ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) ) )
9		stoweidlem41.2	. . . 4 |- X = ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) )
10	8, 9	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - ( y ` t ) ) ) = X )
11		stoweidlem41.10	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( t e. T |-> w ) e. A )
12	11	stoweidlem4 40221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 e. RR ) -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
13	2, 12	mpan2 707	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
14	3, 13	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> F e. A )
15		stoweidlem41.5	. . . 4 |- ( ph -> y e. A )
16		nfmpt1 4747	. . . . . 6 |- F/_ t ( t e. T |-> 1 )
17	3, 16	nfcxfr 2762	. . . . 5 |- F/_ t F
18		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t y
19		stoweidlem41.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
20		stoweidlem41.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
21		stoweidlem41.9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22	17, 18, 1, 19, 20, 21, 11	stoweidlem33 40250	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. A /\ y e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - ( y ` t ) ) ) e. A )
23	14, 15, 22	mpd3an23 1426	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - ( y ` t ) ) ) e. A )
24	10, 23	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> X e. A )
25		stoweidlem41.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> y : T --> RR )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( y ` t ) e. RR )
27		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
28		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 e. RR )
29		stoweidlem41.12	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) )
30	29	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) )
31	30	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( y ` t ) <_ 1 )
32		1m0e1 11131	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 0 ) = 1
33	31, 32	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( y ` t ) <_ ( 1 - 0 ) )
34	26, 27, 28, 33	lesubd 10631	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( 1 - ( y ` t ) ) )
35		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
36	27, 26	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 - ( y ` t ) ) e. RR )
37	9	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ ( 1 - ( y ` t ) ) e. RR ) -> ( X ` t ) = ( 1 - ( y ` t ) ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( X ` t ) = ( 1 - ( y ` t ) ) )
39	34, 38	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( X ` t ) )
40	30	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( y ` t ) )
41	28, 26, 27, 40	lesub2dd 10644	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 - ( y ` t ) ) <_ ( 1 - 0 ) )
42	41, 32	syl6breq 4694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 1 - ( y ` t ) ) <_ 1 )
43	38, 42	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( X ` t ) <_ 1 )
44	39, 43	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) )
45	44	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
46	1, 45	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) )
47		stoweidlem41.4	. . . . . . 7 |- V C_ T
48	47	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( t e. V -> t e. T )
49	48, 38	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( X ` t ) = ( 1 - ( y ` t ) ) )
50		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> 1 e. RR )
51		stoweidlem41.11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
52	51	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
53	52	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> E e. RR )
54	48, 26	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( y ` t ) e. RR )
55		stoweidlem41.13	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) )
56	55	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - E ) < ( y ` t ) )
57	50, 53, 54, 56	ltsub23d 10632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( 1 - ( y ` t ) ) < E )
58	49, 57	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( X ` t ) < E )
59	58	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. V -> ( X ` t ) < E ) )
60	1, 59	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. V ( X ` t ) < E )
61		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( t e. ( T \ U ) -> t e. T )
62	61, 26	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( y ` t ) e. RR )
63	52	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> E e. RR )
64		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> 1 e. RR )
65		stoweidlem41.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E )
66	65	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( y ` t ) < E )
67	62, 63, 64, 66	ltsub2dd 10640	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( y ` t ) ) )
68	61, 38	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( X ` t ) = ( 1 - ( y ` t ) ) )
69	67, 68	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( T \ U ) ) -> ( 1 - E ) < ( X ` t ) )
70	69	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. ( T \ U ) -> ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) )
71	1, 70	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( X ` t ) )
72		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> ( 1 - ( y ` t ) ) )
73	9, 72	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ t X
74	73	nfeq2 2780	. . . . 5 |- F/ t x = X
75		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( x ` t ) = ( X ` t ) )
76	75	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( 0 <_ ( x ` t ) <-> 0 <_ ( X ` t ) ) )
77	75	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( x ` t ) <_ 1 <-> ( X ` t ) <_ 1 ) )
78	76, 77	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
79	74, 78	ralbid 2983	. . . 4 |- ( x = X -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) ) )
80	75	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( x ` t ) < E <-> ( X ` t ) < E ) )
81	74, 80	ralbid 2983	. . . 4 |- ( x = X -> ( A. t e. V ( x ` t ) < E <-> A. t e. V ( X ` t ) < E ) )
82	75	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) )
83	74, 82	ralbid 2983	. . . 4 |- ( x = X -> ( A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) )
84	79, 81, 83	3anbi123d 1399	. . 3 |- ( x = X -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < E /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( X ` t ) < E /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) ) )
85	84	rspcev 3309	. 2 |- ( ( X e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( X ` t ) /\ ( X ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( X ` t ) < E /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < E /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
86	24, 46, 60, 71, 85	syl13anc 1328	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( x ` t ) < E /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  40269