Theorem stoweidlem42 40259

Description: This lemma is used to prove that x built as in Lemma 2 of [BrosowskiDeutsh] p. 91, is such that x > 1 - ε on B. Here X is used to represent x in the paper, and E is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem42.1	|- F/ i ph
stoweidlem42.2	|- F/ t ph
stoweidlem42.3	|- F/_ t Y
stoweidlem42.4	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
stoweidlem42.5	|- X = ( seq 1 ( P , U ) ` M )
stoweidlem42.6	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
stoweidlem42.7	|- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
stoweidlem42.8	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem42.9	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
stoweidlem42.10	|- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( U ` i ) ` t ) )
stoweidlem42.11	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem42.12	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
stoweidlem42.13	|- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
stoweidlem42.14	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
stoweidlem42.15	|- ( ph -> T e. _V )
stoweidlem42.16	|- ( ph -> B C_ T )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem42	|- ( ph -> A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) )

Distinct variable groups:   t, i   B, i   i, M   f, g, t, T   f, i, T   f, F, g   f, M, g   U, f, g, t   f, Y, g   ph, f, g   i, E   U, i

Allowed substitution hints:   ph( t, i)   B( t, f, g)   P( t, f, g, i)   E( t, f, g)   F( t, i)   M( t)   X( t, f, g, i)   Y( t, i)   Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem stoweidlem42

Dummy variables a j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem42.2	. 2 |- F/ t ph
2		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
3		stoweidlem42.11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. RR+ )
4	3	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR )
5	2, 4	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - E ) e. RR )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) e. RR )
7		stoweidlem42.8	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
8	4, 7	nndivred 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E / M ) e. RR )
9	2, 8	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 - ( E / M ) ) e. RR )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - ( E / M ) ) e. RR )
11	7	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> M e. NN0 )
13	10, 12	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( ( 1 - ( E / M ) ) ^ M ) e. RR )
14		elnnuz 11724	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
15	7, 14	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17		stoweidlem42.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ph
18		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i t e. B
19	17, 18	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ t e. B )
20		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ i a e. ( 1 ... M )
21	19, 20	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ t e. B ) /\ a e. ( 1 ... M ) )
22		stoweidlem42.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
23		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i T
24		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) )
25	23, 24	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
26	22, 25	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i F
27		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i t
28	26, 27	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( F ` t )
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i a
30	28, 29	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( ( F ` t ) ` a )
31	30	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( F ` t ) ` a ) e. RR
32	21, 31	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ a e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` a ) e. RR )
33		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( i = a -> ( i e. ( 1 ... M ) <-> a e. ( 1 ... M ) ) )
34	33	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( i = a -> ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) <-> ( ( ph /\ t e. B ) /\ a e. ( 1 ... M ) ) ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = a -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( F ` t ) ` a ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( i = a -> ( ( ( F ` t ) ` i ) e. RR <-> ( ( F ` t ) ` a ) e. RR ) )
37	34, 36	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( i = a -> ( ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) e. RR ) <-> ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ a e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` a ) e. RR ) ) )
38		stoweidlem42.16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ T )
39	38	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> t e. T )
40		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... M ) e. _V
41		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... M ) e. _V -> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V )
42	40, 41	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V )
43	22	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. T /\ ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
44	39, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
45		stoweidlem42.9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
46	45	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) e. Y )
47		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ph )
48	47, 46	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ph /\ ( U ` i ) e. Y ) )
49		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( U ` i ) -> ( f e. Y <-> ( U ` i ) e. Y ) )
50	49	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( U ` i ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( U ` i ) e. Y ) ) )
51		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( U ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` i ) : T --> RR ) )
52	50, 51	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( U ` i ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` i ) e. Y ) -> ( U ` i ) : T --> RR ) ) )
53		stoweidlem42.13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
54	52, 53	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U ` i ) e. Y -> ( ( ph /\ ( U ` i ) e. Y ) -> ( U ` i ) : T --> RR ) )
55	46, 48, 54	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
56	55	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( U ` i ) : T --> RR )
57	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> t e. T )
58	56, 57	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( U ` i ) ` t ) e. RR )
59	44, 58	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) = ( ( U ` i ) ` t ) )
60	59, 58	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` i ) e. RR )
61	32, 37, 60	chvar 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ a e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( F ` t ) ` a ) e. RR )
62		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR /\ j e. RR ) -> ( a x. j ) e. RR )
63	62	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ ( a e. RR /\ j e. RR ) ) -> ( a x. j ) e. RR )
64	16, 61, 63	seqcl 12821	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) e. RR )
65	3	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. CC )
66	7	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. CC )
67	7	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M =/= 0 )
68	65, 66, 67	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / M ) x. M ) = E )
69	68	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E = ( ( E / M ) x. M ) )
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - E ) = ( 1 - ( ( E / M ) x. M ) ) )
71		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
72	65, 66, 67	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / M ) e. CC )
73	72, 66	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E / M ) x. M ) e. CC )
74	71, 73	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 + -u ( ( E / M ) x. M ) ) = ( 1 - ( ( E / M ) x. M ) ) )
75	72, 66	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u ( E / M ) x. M ) = -u ( ( E / M ) x. M ) )
76	75	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( E / M ) x. M ) = ( -u ( E / M ) x. M ) )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 + -u ( ( E / M ) x. M ) ) = ( 1 + ( -u ( E / M ) x. M ) ) )
78	70, 74, 77	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 - E ) = ( 1 + ( -u ( E / M ) x. M ) ) )
79	8	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( E / M ) e. RR )
80	7	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. RR )
81		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. RR
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 e. RR )
83		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 =/= 0
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 =/= 0 )
85	82, 84	rereccld 10852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
86		stoweidlem42.12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
87		1lt3 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 < 3
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 < 3 )
89		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 1
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < 1 )
91		3pos 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 3
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < 3 )
93		ltdiv2 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> ( 1 < 3 <-> ( 1 / 3 ) < ( 1 / 1 ) ) )
94	2, 90, 82, 92, 2, 90, 93	syl222anc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 < 3 <-> ( 1 / 3 ) < ( 1 / 1 ) ) )
95	88, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) < ( 1 / 1 ) )
96		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / 1 ) = 1
97	95, 96	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) < 1 )
98	4, 85, 2, 86, 97	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E < 1 )
99	7	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 <_ M )
100	4, 2, 80, 98, 99	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E < M )
101	4, 80, 100	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E <_ M )
102	3	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E e. RR /\ 0 < E ) )
103	7	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < M )
104		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( E e. RR /\ 0 < E ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( E <_ M <-> ( E / M ) <_ ( E / E ) ) )
105	102, 80, 103, 102, 104	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E <_ M <-> ( E / M ) <_ ( E / E ) ) )
106	101, 105	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E / M ) <_ ( E / E ) )
107	3	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E e. CC /\ E =/= 0 ) )
108		divid 10714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E e. CC /\ E =/= 0 ) -> ( E / E ) = 1 )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E / E ) = 1 )
110	106, 109	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / M ) <_ 1 )
111	8, 2	lenegd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / M ) <_ 1 <-> -u 1 <_ -u ( E / M ) ) )
112	110, 111	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u 1 <_ -u ( E / M ) )
113		bernneq 12990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( E / M ) e. RR /\ M e. NN0 /\ -u 1 <_ -u ( E / M ) ) -> ( 1 + ( -u ( E / M ) x. M ) ) <_ ( ( 1 + -u ( E / M ) ) ^ M ) )
114	79, 11, 112, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 + ( -u ( E / M ) x. M ) ) <_ ( ( 1 + -u ( E / M ) ) ^ M ) )
115	71, 72	negsubd 10398	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + -u ( E / M ) ) = ( 1 - ( E / M ) ) )
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 + -u ( E / M ) ) ^ M ) = ( ( 1 - ( E / M ) ) ^ M ) )
117	114, 116	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( -u ( E / M ) x. M ) ) <_ ( ( 1 - ( E / M ) ) ^ M ) )
118	78, 117	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - E ) <_ ( ( 1 - ( E / M ) ) ^ M ) )
119	118	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) <_ ( ( 1 - ( E / M ) ) ^ M ) )
120		eqid 2622	. . . . . . 7 |- seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) = seq 1 ( x. , ( F ` t ) )
121	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> M e. NN )
122		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) )
123	19, 58, 122	fmptdf 6387	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) : ( 1 ... M ) --> RR )
124	44	feq1d 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( ( F ` t ) : ( 1 ... M ) --> RR <-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) : ( 1 ... M ) --> RR ) )
125	123, 124	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( F ` t ) : ( 1 ... M ) --> RR )
126		stoweidlem42.10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> A. t e. B ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( U ` i ) ` t ) )
127	126	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) /\ t e. B ) -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( U ` i ) ` t ) )
128	127	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( U ` i ) ` t ) )
129	128, 59	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. B ) /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 - ( E / M ) ) < ( ( F ` t ) ` i ) )
130	72	addid2d 10237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 + ( E / M ) ) = ( E / M ) )
131		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( 1 <_ M <-> ( E / M ) <_ ( E / 1 ) ) )
132	2, 90, 80, 103, 102, 131	syl221anc 1337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 <_ M <-> ( E / M ) <_ ( E / 1 ) ) )
133	99, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E / M ) <_ ( E / 1 ) )
134	65	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E / 1 ) = E )
135	133, 134	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E / M ) <_ E )
136	8, 4, 2, 135, 98	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / M ) < 1 )
137	130, 136	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 + ( E / M ) ) < 1 )
138		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
139	138, 8, 2	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 0 + ( E / M ) ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( E / M ) ) ) )
140	137, 139	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( 1 - ( E / M ) ) )
141	9, 140	elrpd 11869	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 - ( E / M ) ) e. RR+ )
142	141	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - ( E / M ) ) e. RR+ )
143	28, 19, 120, 121, 125, 129, 142	stoweidlem3 40220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( ( 1 - ( E / M ) ) ^ M ) < ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
144	6, 13, 64, 119, 143	lelttrd 10195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
145		stoweidlem42.7	. . . . . . 7 |- Z = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
146	145	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( t e. T /\ ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) e. RR ) -> ( Z ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
147	39, 64, 146	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( Z ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` M ) )
148	144, 147	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < ( Z ` t ) )
149		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ph )
150		stoweidlem42.3	. . . . . 6 |- F/_ t Y
151		stoweidlem42.4	. . . . . 6 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
152		stoweidlem42.5	. . . . . 6 |- X = ( seq 1 ( P , U ) ` M )
153		stoweidlem42.15	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. _V )
154		stoweidlem42.14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
155	17, 150, 151, 152, 22, 145, 153, 7, 45, 53, 154	fmuldfeq 39815	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( X ` t ) = ( Z ` t ) )
156	149, 39, 155	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( X ` t ) = ( Z ` t ) )
157	148, 156	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < ( X ` t ) )
158	157	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( t e. B -> ( 1 - E ) < ( X ` t ) ) )
159	1, 158	ralrimi 2957	1 |- ( ph -> A. t e. B ( 1 - E ) < ( X ` t ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  stoweidlem51  40268