Theorem subhalfhalf 11266

Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subhalfhalf	|- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )

Proof of Theorem subhalfhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		2cnd 11093	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 2 e. CC )
3		2ne0 11113	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 2 =/= 0 )
5	1, 2, 4	divcan1d 10802	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) x. 2 ) = A )
6	5	eqcomd 2628	. . 3 |- ( A e. CC -> A = ( ( A / 2 ) x. 2 ) )
7	6	oveq1d 6665	. 2 |- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( ( ( A / 2 ) x. 2 ) - ( A / 2 ) ) )
8		halfcl 11257	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
9	8, 2	mulcomd 10061	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( A / 2 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( A / 2 ) ) )
10	9	oveq1d 6665	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / 2 ) x. 2 ) - ( A / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) )
11	2, 8	mulsubfacd 10492	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) = ( ( 2 - 1 ) x. ( A / 2 ) ) )
12		2m1e1 11135	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 2 - 1 ) = 1 )
14	13	oveq1d 6665	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 - 1 ) x. ( A / 2 ) ) = ( 1 x. ( A / 2 ) ) )
15	8	mulid2d 10058	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
16	11, 14, 15	3eqtrd 2660	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( A / 2 ) ) - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )
17	7, 10, 16	3eqtrd 2660	1 |- ( A e. CC -> ( A - ( A / 2 ) ) = ( A / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  12637  gausslemma2dlem1a  25090