MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv4lem1div2uz2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem fldiv4lem1div2uz2 12637
Description: The floor of an integer greater than 1, divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4lem1div2uz2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
Proof of Theorem fldiv4lem1div2uz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11697 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
2 zre 11381 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
3 id 22 . . . . 5 |- ( N e. RR -> N e. RR )
4 4re 11097 . . . . . 6 |- 4 e. RR
54a1i 11 . . . . 5 |- ( N e. RR -> 4 e. RR )
6 4ne0 11117 . . . . . 6 |- 4 =/= 0
76a1i 11 . . . . 5 |- ( N e. RR -> 4 =/= 0 )
83, 5, 7redivcld 10853 . . . 4 |- ( N e. RR -> ( N / 4 ) e. RR )
92, 8syl 17 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
10 flle 12600 . . 3 |- ( ( N / 4 ) e. RR -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
111, 9, 103syl 18 . 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) )
12 1red 10055 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. RR )
13 eluzelre 11698 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. RR )
14 rehalfcl 11258 . . . . 5 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. RR )
151, 2, 143syl 18 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 2 ) e. RR )
16 2rp 11837 . . . . . . 7 |- 2 e. RR+
1716a1i 11 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. RR+ )
18 eluzle 11700 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
19 divge1 11898 . . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR+ /\ N e. RR /\ 2 <_ N ) -> 1 <_ ( N / 2 ) )
2017, 13, 18, 19syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ ( N / 2 ) )
21 eluzelcn 11699 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. CC )
22 subhalfhalf 11266 . . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N - ( N / 2 ) ) = ( N / 2 ) )
2321, 22syl 17 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - ( N / 2 ) ) = ( N / 2 ) )
2420, 23breqtrrd 4681 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ ( N - ( N / 2 ) ) )
2512, 13, 15, 24lesubd 10631 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 2 ) <_ ( N - 1 ) )
26 2t2e4 11177 . . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2726eqcomi 2631 . . . . . . . 8 |- 4 = ( 2 x. 2 )
2827a1i 11 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 4 = ( 2 x. 2 ) )
2928oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 4 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
30 2cnne0 11242 . . . . . . . 8 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
3130a1i 11 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
32 divdiv1 10736 . . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
3321, 31, 31, 32syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
3429, 33eqtr4d 2659 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 4 ) = ( ( N / 2 ) / 2 ) )
3534breq1d 4663 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 4 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
36 peano2rem 10348 . . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
37 2re 11090 . . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
38 2pos 11112 . . . . . . . . 9 |- 0 < 2
3937, 38pm3.2i 471 . . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
4039a1i 11 . . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
4114, 36, 403jca 1242 . . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( N / 2 ) e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) )
421, 2, 413syl 18 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 2 ) e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) )
43 lediv1 10888 . . . . 5 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / 2 ) <_ ( N - 1 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
4442, 43syl 17 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 2 ) <_ ( N - 1 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
4535, 44bitr4d 271 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N / 4 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) <-> ( N / 2 ) <_ ( N - 1 ) ) )
4625, 45mpbird 247 . 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N / 4 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
478flcld 12599 . . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
4847zred 11482 . . . . 5 |- ( N e. RR -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
4936rehalfcld 11279 . . . . 5 |- ( N e. RR -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR )
5048, 8, 493jca 1242 . . . 4 |- ( N e. RR -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
511, 2, 503syl 18 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) )
52 letr 10131 . . 3 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) /\ ( N / 4 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
5351, 52syl 17 . 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( N / 4 ) /\ ( N / 4 ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
5411, 46, 53mp2and 715 1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   |_cfl 12591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2  12638  gausslemma2dlem4  25094
  Copyright terms: Public domain W3C validator