Theorem gausslemma2dlem1a 25090

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 25091. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1a	|- ( ph -> ran R = ( 1 ... H ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1a

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . 4 |- y e. _V
2		gausslemma2d.r	. . . . 5 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
3	2	elrnmpt 5372	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. ran R <-> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. ran R <-> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
5		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( x x. 2 ) )
6	5	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = ( x x. 2 ) ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = ( x x. 2 ) ) )
8		elfz1b 12409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 ... H ) <-> ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) )
9		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. NN -> x e. NN )
10		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. NN
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. NN -> 2 e. NN )
12	9, 11	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. NN -> ( x x. 2 ) e. NN )
13	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( x x. 2 ) e. NN )
14	13	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( x x. 2 ) e. NN )
15		gausslemma2d.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
16	15	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( H e. NN <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
17	16	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H e. NN -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
19	18	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
20		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
21		nnoddn2prm 15516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN /\ -. 2 || P ) )
22		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
23	22	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
25		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
26		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. ZZ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. NN -> 2 e. ZZ )
28	25, 27	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. NN -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
29	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
30	24, 29	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) ) -> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
31		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) <-> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
32	30, 31	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
33	32	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) ) )
34	20, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) ) )
35	34	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
36		ltoddhalfle 15085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
38	37	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
39	14, 19, 38	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) /\ ph /\ ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
40	39	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( ph -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
41	8, 40	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> ( ph -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
42	41	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
43	42	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
44	15	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... H ) = ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
45	44	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x x. 2 ) e. ( 1 ... H ) <-> ( x x. 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
46		elfz1b 12409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x x. 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
47	45, 46	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( x x. 2 ) e. ( 1 ... H ) <-> ( ( x x. 2 ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( x x. 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
48	43, 47	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( x x. 2 ) e. ( 1 ... H ) )
49		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x x. 2 ) -> ( y e. ( 1 ... H ) <-> ( x x. 2 ) e. ( 1 ... H ) ) )
50	48, 49	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = ( x x. 2 ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
51	7, 50	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
52		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( P - ( x x. 2 ) ) )
53	52	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
55		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
56		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
57	20, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ZZ )
58	57	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> P e. ZZ )
59		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> x e. ZZ )
60	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> 2 e. ZZ )
61	59, 60	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
62	61	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
63	58, 62	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ )
64	56	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. RR )
65		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. NN -> x e. RR )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> x e. RR )
67		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( P - 1 ) e. RR )
69		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
70		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
71	69, 70	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
73		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
74	66, 68, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
75	15	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x <_ H <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
76	74, 75	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( x <_ H <-> ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) ) )
77	12	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. NN -> ( x x. 2 ) e. RR )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( x x. 2 ) e. RR )
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> P e. RR )
80	78, 68, 79	lesub2d 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) <-> ( P - ( P - 1 ) ) <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
81		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. RR -> P e. CC )
82		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. RR -> 1 e. CC )
83	81, 82	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. RR -> ( P - ( P - 1 ) ) = 1 )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( P - ( P - 1 ) ) = 1 )
85	84	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( P - ( P - 1 ) ) <_ ( P - ( x x. 2 ) ) <-> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
86	85	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( P - ( P - 1 ) ) <_ ( P - ( x x. 2 ) ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
87	80, 86	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( ( x x. 2 ) <_ ( P - 1 ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
88	76, 87	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. NN /\ P e. RR ) -> ( x <_ H -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
89	88	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ x <_ H ) -> ( P e. RR -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
90	89	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ H e. NN /\ x <_ H ) -> ( P e. RR -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
91	8, 90	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> ( P e. RR -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
92	91	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. RR -> ( x e. ( 1 ... H ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
93	64, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> ( x e. ( 1 ... H ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
94	20, 55, 93	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... H ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
95	94	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) )
97		elnnz1 11403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P - ( x x. 2 ) ) e. NN <-> ( ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
98	63, 96, 97	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) e. NN )
99	8	simp2bi 1077	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> H e. NN )
100	99	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> H e. NN )
101		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. NN -> P e. RR )
102	101	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. NN -> ( P / 2 ) e. RR )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( P / 2 ) e. RR )
104	61	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... H ) -> ( x x. 2 ) e. RR )
105		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( x x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) <-> -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
106	103, 104, 105	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) <-> -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
107	23, 61	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
108	107, 31	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) )
109		halfleoddlt 15086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( x x. 2 ) e. ZZ ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) <-> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) <-> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) ) )
111	110	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) )
112		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> P e. CC )
113		subhalfhalf 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. CC -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
115	114	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. NN -> ( ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) <-> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) ) )
116	115	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) <-> ( P / 2 ) < ( x x. 2 ) ) )
117	111, 116	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) )
118	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> P e. RR )
119	102	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P / 2 ) e. RR )
120	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( x x. 2 ) e. RR )
121	118, 119, 120	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR /\ ( x x. 2 ) e. RR ) )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR /\ ( x x. 2 ) e. RR ) )
123		ltsub23 10508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR /\ ( x x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) ) )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( ( P - ( P / 2 ) ) < ( x x. 2 ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) ) )
125	117, 124	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) )
126	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> P e. ZZ )
127		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> -. 2 || P )
128	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( x x. 2 ) e. ZZ )
129	126, 128	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ )
130	126, 127, 129	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ ) )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ ) )
132		ltoddhalfle 15085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ ( P - ( x x. 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( ( P - ( x x. 2 ) ) < ( P / 2 ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
134	125, 133	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) /\ ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
135	134	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
136	15	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H <-> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
137	135, 136	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( x x. 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) )
138	106, 137	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) )
139	138	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( x e. ( 1 ... H ) -> ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) ) )
140	20, 21, 139	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... H ) -> ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) ) )
141	140	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) )
142	141	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H )
143		elfz1b 12409	. . . . . . . . 9 |- ( ( P - ( x x. 2 ) ) e. ( 1 ... H ) <-> ( ( P - ( x x. 2 ) ) e. NN /\ H e. NN /\ ( P - ( x x. 2 ) ) <_ H ) )
144	98, 100, 142, 143	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) e. ( 1 ... H ) )
145		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( y = ( P - ( x x. 2 ) ) -> ( y e. ( 1 ... H ) <-> ( P - ( x x. 2 ) ) e. ( 1 ... H ) ) )
146	144, 145	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = ( P - ( x x. 2 ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
147	54, 146	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( -. ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) /\ ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
148	51, 147	pm2.61ian 831	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... H ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
149	148	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) -> y e. ( 1 ... H ) ) )
150		elfz1b 12409	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 1 ... H ) <-> ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) )
151		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> y e. NN )
152		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> 2 || y )
153		nnehalf 15096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ 2 || y ) -> ( y / 2 ) e. NN )
154	151, 152, 153	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 || y /\ ph ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( y / 2 ) e. NN )
155		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 || y /\ ph ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> H e. NN )
156		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> y e. RR )
157	156	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> y e. RR )
158		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( H e. NN -> H e. RR+ )
159	158	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> H e. RR+ )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> H e. RR+ )
161		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR+
162		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 <_ 2
163	161, 162	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. RR+ /\ 1 <_ 2 )
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( 2 e. RR+ /\ 1 <_ 2 ) )
165		ledivge1le 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ H e. RR+ /\ ( 2 e. RR+ /\ 1 <_ 2 ) ) -> ( y <_ H -> ( y / 2 ) <_ H ) )
166	157, 160, 164, 165	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( y <_ H -> ( y / 2 ) <_ H ) )
167	166	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y <_ H -> ( y / 2 ) <_ H ) ) )
168	167	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y <_ H -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y / 2 ) <_ H ) ) )
169	168	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y / 2 ) <_ H ) )
170	169	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 || y /\ ph ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( y / 2 ) <_ H )
171	154, 155, 170	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 || y /\ ph ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) )
172	171	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) ) )
173	150, 172	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) ) )
174	173	3impia 1261	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) )
175		elfz1b 12409	. . . . . . . 8 |- ( ( y / 2 ) e. ( 1 ... H ) <-> ( ( y / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( y / 2 ) <_ H ) )
176	174, 175	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( y / 2 ) e. ( 1 ... H ) )
177		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( x x. 2 ) = ( ( y / 2 ) x. 2 ) )
178	177	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
179	177	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) )
180	178, 177, 179	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y / 2 ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) )
181	180	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y / 2 ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) ) )
182	181	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) /\ x = ( y / 2 ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) ) )
183		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 1 ... H ) -> y e. ZZ )
184	183	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 1 ... H ) -> y e. CC )
185	184	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y e. CC )
186		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
187		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 =/= 0 )
189	185, 186, 188	divcan1d 10802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 2 ) = y )
190	15	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y <_ H <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
191		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
192	20, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
193	192	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
194	191, 193	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ y e. ZZ ) )
195		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ y e. ZZ ) <-> ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ y e. ZZ ) )
196	194, 195	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ y e. ZZ ) )
197		ltoddhalfle 15085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P /\ y e. ZZ ) -> ( y < ( P / 2 ) <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
198	196, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN /\ ( 2 || y /\ ph ) ) -> ( y < ( P / 2 ) <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
199	198	exbiri 652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> y < ( P / 2 ) ) ) )
200	199	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) ) )
201	190, 200	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( y <_ H -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) ) )
202	201	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( H e. NN -> ( y <_ H -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) ) ) )
203	202	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) )
204	150, 203	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( 2 || y /\ ph ) -> y < ( P / 2 ) ) )
205	204	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 || y /\ ph ) -> ( y e. ( 1 ... H ) -> y < ( P / 2 ) ) )
206	205	3impia 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y < ( P / 2 ) )
207	189, 206	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) )
208	207	iftrued 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) = ( ( y / 2 ) x. 2 ) )
209	208, 189	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y = if ( ( ( y / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( y / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( y / 2 ) x. 2 ) ) ) )
210	176, 182, 209	rspcedvd 3317	. . . . . 6 |- ( ( 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
211	210	3exp 1264	. . . . 5 |- ( 2 || y -> ( ph -> ( y e. ( 1 ... H ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) ) ) )
212	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
213	212	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> P e. ZZ )
214	191	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> y e. ZZ )
215	214	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> y e. ZZ )
216	213, 215	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - y ) e. ZZ )
217	156	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. RR /\ ( y e. NN /\ H e. NN ) ) -> y e. RR )
218	67	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. RR -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
219	218	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. RR /\ ( y e. NN /\ H e. NN ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
220		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. RR /\ ( y e. NN /\ H e. NN ) ) -> P e. RR )
221	217, 219, 220	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P e. RR /\ ( y e. NN /\ H e. NN ) ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) )
222	221	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. RR -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) ) )
223	55, 64, 222	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) ) )
224	223	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) ) )
225	224	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) )
226		lesub2 10523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. RR /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) )
227	225, 226	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) )
228	56	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
229		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. CC -> 1 e. CC )
230		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
231	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. CC -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
232		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( P e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) )
233	229, 231, 232	mpd3an23 1426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. CC -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) )
234	233	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. CC -> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( P - ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
235		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. CC -> P e. CC )
236		halfcl 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. CC -> ( P / 2 ) e. CC )
237		halfcn 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 1 / 2 ) e. CC
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
239	235, 236, 238	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. CC -> ( P - ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( P - ( P / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
240	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. CC -> ( ( P - ( P / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
241	234, 239, 240	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. CC -> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
242	55, 228, 241	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
243	242	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
244	243	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <_ ( P - y ) <-> ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) )
245		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
246		halfre 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 1 / 2 ) e. RR
247	246	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN -> ( 1 / 2 ) e. RR )
248		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN -> 0 < P )
249	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
250		divgt0 10891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( P e. RR /\ 0 < P ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( P / 2 ) )
251	101, 248, 249, 250	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN -> 0 < ( P / 2 ) )
252		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 < ( 1 / 2 )
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN -> 0 < ( 1 / 2 ) )
254	102, 247, 251, 253	addgt0d 10602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
255	55, 245, 254	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
256	255	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
257		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> 0 e. RR )
258		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> P e. RR )
259	258	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( P / 2 ) e. RR )
260	246	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
261	259, 260	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
262		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( P e. RR /\ y e. RR ) -> ( P - y ) e. RR )
263	262	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( P - y ) e. RR )
264	257, 261, 263	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) )
265	264	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( y e. RR -> ( P e. RR -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
266	156, 265	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( y e. NN -> ( P e. RR -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
267	266	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( P e. RR -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
268	267	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. RR -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
269	55, 64, 268	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
270	269	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) ) )
271	270	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) )
272		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. RR /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P - y ) e. RR ) -> ( ( 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) -> 0 < ( P - y ) ) )
273	271, 272	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( ( 0 < ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) <_ ( P - y ) ) -> 0 < ( P - y ) ) )
274	256, 273	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( ( ( P / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) <_ ( P - y ) -> 0 < ( P - y ) ) )
275	244, 274	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( ( P - ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <_ ( P - y ) -> 0 < ( P - y ) ) )
276	227, 275	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. NN /\ H e. NN ) /\ ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> 0 < ( P - y ) ) )
277	276	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> 0 < ( P - y ) ) ) )
278	277	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> 0 < ( P - y ) ) ) )
279	190, 278	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN ) -> ( y <_ H -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> 0 < ( P - y ) ) ) )
280	279	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> 0 < ( P - y ) ) )
281	280	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> 0 < ( P - y ) )
282		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P - y ) e. NN <-> ( ( P - y ) e. ZZ /\ 0 < ( P - y ) ) )
283	216, 281, 282	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - y ) e. NN )
284	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) )
285		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> -. 2 || y )
286	285, 214	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( y e. ZZ /\ -. 2 || y ) )
287		omoe 15088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ZZ /\ -. 2 || P ) /\ ( y e. ZZ /\ -. 2 || y ) ) -> 2 || ( P - y ) )
288	284, 286, 287	syl2an2r 876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> 2 || ( P - y ) )
289		nnehalf 15096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P - y ) e. NN /\ 2 || ( P - y ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. NN )
290	283, 288, 289	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. NN )
291		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> H e. NN )
292		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> 1 e. RR )
293	156	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> y e. RR )
294	293	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> y e. RR )
295	55, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
296	295	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> P e. RR )
297		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
298	297	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> 1 <_ y )
299	298	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> 1 <_ y )
300	292, 294, 296, 299	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - y ) <_ ( P - 1 ) )
301	296, 294	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - y ) e. RR )
302	55, 64, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. RR )
303	302	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
304	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
305		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P - y ) e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( P - y ) <_ ( P - 1 ) <-> ( ( P - y ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
306	301, 303, 304, 305	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( P - y ) <_ ( P - 1 ) <-> ( ( P - y ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
307	300, 306	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
308	15	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P - y ) / 2 ) <_ H <-> ( ( P - y ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
309	307, 308	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) <_ H )
310	290, 291, 309	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) /\ ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) ) -> ( ( ( P - y ) / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( ( P - y ) / 2 ) <_ H ) )
311	310	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( ( P - y ) / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( ( P - y ) / 2 ) <_ H ) ) )
312		elfz1b 12409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) <-> ( ( ( P - y ) / 2 ) e. NN /\ H e. NN /\ ( ( P - y ) / 2 ) <_ H ) )
313	311, 150, 312	3imtr4g 285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || y ) -> ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) ) )
314	313	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || y -> ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) ) ) )
315	20, 314	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. 2 || y -> ( y e. ( 1 ... H ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) ) ) )
316	315	3imp21 1277	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( P - y ) / 2 ) e. ( 1 ... H ) )
317		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> ( x x. 2 ) = ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) )
318	317	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
319	317	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) )
320	318, 317, 319	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) )
321	320	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( P - y ) / 2 ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) ) )
322	321	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) /\ x = ( ( P - y ) / 2 ) ) -> ( y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y = if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) ) )
323	20, 55, 228	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
324	323	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> P e. CC )
325	184	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y e. CC )
326	324, 325	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - y ) e. CC )
327		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. CC )
328	187	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> 2 =/= 0 )
329	326, 327, 328	divcan1d 10802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - y ) )
330		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
331		halfge0 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
332		rehalfcl 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. RR -> ( P / 2 ) e. RR )
333	332	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( P / 2 ) e. RR )
334	333, 260	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) <-> ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( P / 2 ) ) )
335	331, 334	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( P / 2 ) )
336		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> y e. RR )
337	246	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. RR -> ( 1 / 2 ) e. RR )
338	332, 337	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. RR -> ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
339	338	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
340		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR ) -> ( ( y <_ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( P / 2 ) ) -> y <_ ( P / 2 ) ) )
341	336, 339, 333, 340	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( y <_ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( P / 2 ) ) -> y <_ ( P / 2 ) ) )
342	335, 341	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) -> y <_ ( P / 2 ) ) )
343	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> P e. CC )
344		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> 1 e. CC )
345	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
346	343, 344, 345, 232	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) )
347	346	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> y <_ ( ( P / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
348		lesub 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ P e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( P - y ) <-> y <_ ( P - ( P / 2 ) ) ) )
349	333, 258, 336, 348	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( P - y ) <-> y <_ ( P - ( P / 2 ) ) ) )
350	259, 263	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( P - y ) <-> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
351		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( P e. RR -> 2 e. CC )
352	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( P e. RR -> 2 =/= 0 )
353	81, 351, 352	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. RR -> ( ( P / 2 ) x. 2 ) = P )
354	353	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> P = ( ( P / 2 ) x. 2 ) )
355	354	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. RR -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( ( ( P / 2 ) x. 2 ) - ( P / 2 ) ) )
356	332	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. RR -> ( P / 2 ) e. CC )
357	356, 351	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( ( P / 2 ) x. 2 ) = ( 2 x. ( P / 2 ) ) )
358	357	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. RR -> ( ( ( P / 2 ) x. 2 ) - ( P / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( P / 2 ) ) - ( P / 2 ) ) )
359	351, 356	mulsubfacd 10492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( ( 2 x. ( P / 2 ) ) - ( P / 2 ) ) = ( ( 2 - 1 ) x. ( P / 2 ) ) )
360		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( 2 - 1 ) = 1
361	360	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( P e. RR -> ( 2 - 1 ) = 1 )
362	361	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( ( 2 - 1 ) x. ( P / 2 ) ) = ( 1 x. ( P / 2 ) ) )
363	356	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( P e. RR -> ( 1 x. ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
364	359, 362, 363	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( P e. RR -> ( ( 2 x. ( P / 2 ) ) - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
365	355, 358, 364	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P e. RR -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
366	365	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( P - ( P / 2 ) ) = ( P / 2 ) )
367	366	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( P - ( P / 2 ) ) <-> y <_ ( P / 2 ) ) )
368	349, 350, 367	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( -. ( P - y ) < ( P / 2 ) <-> y <_ ( P / 2 ) ) )
369	342, 347, 368	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. RR /\ P e. RR ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
370	369	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. RR -> ( P e. RR -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
371	156, 370	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. NN -> ( P e. RR -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
372	371	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. RR -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
373	330, 372	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ZZ -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
374	55, 56, 373	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
375	20, 374	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
376	375	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( y e. NN -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
377	376	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. NN -> ( y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
378	190, 377	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( y <_ H -> ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) )
379	378	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( H e. NN -> ( y <_ H -> ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) ) ) )
380	379	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
381	380	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> ( ( y e. NN /\ H e. NN /\ y <_ H ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
382	150, 381	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || y /\ ph ) -> ( y e. ( 1 ... H ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) ) )
383	382	3impia 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> -. ( P - y ) < ( P / 2 ) )
384	329, 383	eqnbrtrd 4671	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> -. ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) )
385	384	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) = ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) )
386	329	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) = ( P - ( P - y ) ) )
387	323, 184	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. CC /\ y e. CC ) )
388	387	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P e. CC /\ y e. CC ) )
389		nncan 10310	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. CC /\ y e. CC ) -> ( P - ( P - y ) ) = y )
390	388, 389	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( P - y ) ) = y )
391	385, 386, 390	3eqtrrd 2661	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> y = if ( ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) , ( P - ( ( ( P - y ) / 2 ) x. 2 ) ) ) )
392	316, 322, 391	rspcedvd 3317	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || y /\ ph /\ y e. ( 1 ... H ) ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
393	392	3exp 1264	. . . . 5 |- ( -. 2 || y -> ( ph -> ( y e. ( 1 ... H ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) ) ) )
394	211, 393	pm2.61i 176	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( 1 ... H ) -> E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) ) )
395	149, 394	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( 1 ... H ) y = if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) <-> y e. ( 1 ... H ) ) )
396	4, 395	syl5bb 272	. 2 |- ( ph -> ( y e. ran R <-> y e. ( 1 ... H ) ) )
397	396	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ran R = ( 1 ... H ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1  25091