Theorem sup3 10980

Description: A version of the completeness axiom for reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
sup3	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem sup3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3597	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( y e. A -> y e. RR ) )
2		leloe 10124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y <_ x <-> ( y < x \/ y = x ) ) )
3	2	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( y e. RR -> ( y <_ x <-> ( y < x \/ y = x ) ) ) )
4	1, 3	syl9 77	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> ( x e. RR -> ( y e. A -> ( y <_ x <-> ( y < x \/ y = x ) ) ) ) )
5	4	imp31 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y <_ x <-> ( y < x \/ y = x ) ) )
6	5	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. y e. A ( y < x \/ y = x ) ) )
7	6	rexbidva 3049	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. A ( y < x \/ y = x ) ) )
8	7	anbi2d 740	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) <-> ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A ( y < x \/ y = x ) ) ) )
9	8	pm5.32i 669	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) <-> ( A C_ RR /\ ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A ( y < x \/ y = x ) ) ) )
10		3anass 1042	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) <-> ( A C_ RR /\ ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) )
11		3anass 1042	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A ( y < x \/ y = x ) ) <-> ( A C_ RR /\ ( A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A ( y < x \/ y = x ) ) ) )
12	9, 10, 11	3bitr4i 292	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) <-> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A ( y < x \/ y = x ) ) )
13		sup2 10979	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A ( y < x \/ y = x ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
14	12, 13	sylbi 207	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  infm3  10982  suprcl  10983  suprub  10984  suprlub  10987  sup3ii  10996  xrsupsslem  12137