Theorem supxrbnd 12158

Description: The supremum of a bounded-above nonempty set of reals is real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrbnd	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )

Proof of Theorem supxrbnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 10083	. . . . 5 |- RR C_ RR*
2		sstr 3611	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ RR C_ RR* ) -> A C_ RR* )
3	1, 2	mpan2 707	. . . 4 |- ( A C_ RR -> A C_ RR* )
4		supxrcl 12145	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
5		pnfxr 10092	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
6		xrltne 11994	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ +oo e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> +oo =/= sup ( A , RR* , < ) )
7	5, 6	mp3an2 1412	. . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> +oo =/= sup ( A , RR* , < ) )
8	7	necomd 2849	. . . . . . . 8 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo )
9	8	ex 450	. . . . . . 7 |- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
11		supxrunb2 12150	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x < y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
12		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
13	12	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
14		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
15	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR* )
16		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( y <_ x <-> -. x < y ) )
17	16	con2bid 344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
18	13, 15, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
19	18	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y <-> E. y e. A -. y <_ x ) )
20		rexnal 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A -. y <_ x <-> -. A. y e. A y <_ x )
21	19, 20	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y <-> -. A. y e. A y <_ x ) )
22	21	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x < y <-> A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x ) )
23	11, 22	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x ) )
24		ralnex 2992	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x <-> -. E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
25	23, 24	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> -. E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
26	25	necon2abid 2836	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x <-> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
27	10, 26	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
28	27	imp 445	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
29	3, 28	sylan 488	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
30	29	3adant2 1080	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
31		supxrre 12157	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) = sup ( A , RR , < ) )
32		suprcl 10983	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
33	31, 32	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )
34	30, 33	syld3an3 1371	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   supcsup 8346   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  supxrgtmnf  12159  ovolunlem1  23265  uniioombllem1  23349