Theorem uniioombllem1 23349

Description: Lemma for uniioombl 23357. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	|- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2	|- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a	|- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g	|- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s	|- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem1	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, A   x, C   ph, x   x, T

Allowed substitution hints:   S( x)   E( x)

Proof of Theorem uniioombllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.g	. . . . 5 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
3		uniioombl.t	. . . . . 6 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
4	2, 3	ovolsf 23241	. . . . 5 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5	1, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
6		frn 6053	. . . 4 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
8		rge0ssre 12280	. . 3 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
9	7, 8	syl6ss 3615	. 2 |- ( ph -> ran T C_ RR )
10		1nn 11031	. . . . 5 |- 1 e. NN
11		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom T = NN )
12	5, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom T = NN )
13	10, 12	syl5eleqr 2708	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. dom T )
14		ne0i 3921	. . . 4 |- ( 1 e. dom T -> dom T =/= (/) )
15	13, 14	syl 17	. . 3 |- ( ph -> dom T =/= (/) )
16		dm0rn0 5342	. . . 4 |- ( dom T = (/) <-> ran T = (/) )
17	16	necon3bii 2846	. . 3 |- ( dom T =/= (/) <-> ran T =/= (/) )
18	15, 17	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ran T =/= (/) )
19		icossxr 12258	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
20	7, 19	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
21		supxrcl 12145	. . . 4 |- ( ran T C_ RR* -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR* )
23		uniioombl.e	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
24		uniioombl.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR+ )
25	24	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
26	23, 25	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( vol* ` E ) + C ) e. RR )
27	26	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` E ) + C ) e. RR* )
28		pnfxr 10092	. . . 4 |- +oo e. RR*
29	28	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> +oo e. RR* )
30		uniioombl.v	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
31		ltpnf 11954	. . . 4 |- ( ( ( vol* ` E ) + C ) e. RR -> ( ( vol* ` E ) + C ) < +oo )
32	26, 31	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` E ) + C ) < +oo )
33	22, 27, 29, 30, 32	xrlelttrd 11991	. 2 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) < +oo )
34		supxrbnd 12158	. 2 |- ( ( ran T C_ RR /\ ran T =/= (/) /\ sup ( ran T , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
35	9, 18, 33, 34	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   seqcseq 12801   abscabs 13974   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  uniioombllem3  23353  uniioombllem4  23354  uniioombllem5  23355  uniioombllem6  23356