Theorem ovolunlem1 23265

Description: Lemma for ovolun 23267. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolun.a	|- ( ph -> ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) )
ovolun.b	|- ( ph -> ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) )
ovolun.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
ovolun.s	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
ovolun.t	|- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
ovolun.u	|- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
ovolun.f1	|- ( ph -> F e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
ovolun.f2	|- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. F ) )
ovolun.f3	|- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) )
ovolun.g1	|- ( ph -> G e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
ovolun.g2	|- ( ph -> B C_ U. ran ( (,) o. G ) )
ovolun.g3	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) )
ovolun.h	|- H = ( n e. NN |-> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( G ` ( n / 2 ) ) , ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovolunlem1	|- ( ph -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )

Distinct variable groups:   C, n   n, F   A, n   B, n   n, G   ph, n

Allowed substitution hints:   S( n)   T( n)   U( n)   H( n)

Proof of Theorem ovolunlem1

Dummy variables k z m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolun.a	. . . . 5 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) )
2	1	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		ovolun.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) )
4	3	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> B C_ RR )
5	2, 4	unssd 3789	. . 3 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ RR )
6		ovolun.g1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
7		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
8	7, 7	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR X. RR ) e. _V
9	8	inex2 4800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) e. _V
10		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
11	9, 10	elmap 7886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) <-> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
12	6, 11	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( n / 2 ) e. NN ) -> ( G ` ( n / 2 ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15		nneo 11461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( ( n / 2 ) e. NN <-> -. ( ( n + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n / 2 ) e. NN <-> -. ( ( n + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
17	16	con2bid 344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( n + 1 ) / 2 ) e. NN <-> -. ( n / 2 ) e. NN ) )
18	17	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( n / 2 ) e. NN ) -> ( ( n + 1 ) / 2 ) e. NN )
19		ovolun.f1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
20	9, 10	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) <-> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
21	19, 20	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
23	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
24	18, 23	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( n / 2 ) e. NN ) -> ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
25	14, 24	ifclda 4120	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( G ` ( n / 2 ) ) , ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
26		ovolun.h	. . . . . . . 8 |- H = ( n e. NN |-> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( G ` ( n / 2 ) ) , ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) )
27	25, 26	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) o. H ) = ( ( abs o. - ) o. H )
29		ovolun.u	. . . . . . . 8 |- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
30	28, 29	ovolsf 23241	. . . . . . 7 |- ( H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
31	27, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
32		rge0ssre 12280	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
33		fss 6056	. . . . . 6 |- ( ( U : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> U : NN --> RR )
34	31, 32, 33	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> U : NN --> RR )
35		frn 6053	. . . . 5 |- ( U : NN --> RR -> ran U C_ RR )
36	34, 35	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran U C_ RR )
37		1nn 11031	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
38		1z 11407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
39		seqfn 12813	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
41	29	fneq1i 5985	. . . . . . . . . 10 |- ( U Fn NN <-> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) Fn NN )
42		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43	42	fneq2i 5986	. . . . . . . . . 10 |- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) Fn NN <-> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
44	41, 43	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( U Fn NN <-> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
45	40, 44	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U Fn NN )
46		fndm 5990	. . . . . . . 8 |- ( U Fn NN -> dom U = NN )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom U = NN )
48	37, 47	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. dom U )
49		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 1 e. dom U -> dom U =/= (/) )
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom U =/= (/) )
51		dm0rn0 5342	. . . . . 6 |- ( dom U = (/) <-> ran U = (/) )
52	51	necon3bii 2846	. . . . 5 |- ( dom U =/= (/) <-> ran U =/= (/) )
53	50, 52	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ran U =/= (/) )
54	1	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` A ) e. RR )
55	3	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` B ) e. RR )
56	54, 55	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
57		ovolun.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR+ )
58	57	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
59	56, 58	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) e. RR )
60		ovolun.s	. . . . . . . . 9 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
61		ovolun.t	. . . . . . . . 9 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
62		ovolun.f2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. F ) )
63		ovolun.f3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( C / 2 ) ) )
64		ovolun.g2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ U. ran ( (,) o. G ) )
65		ovolun.g3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` B ) + ( C / 2 ) ) )
66	1, 3, 57, 60, 61, 29, 19, 62, 63, 6, 64, 65, 26	ovolunlem1a 23264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )
67	66	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. NN ( U ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )
68		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( U ` k ) -> ( z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) <-> ( U ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
69	68	ralrn 6362	. . . . . . . 8 |- ( U Fn NN -> ( A. z e. ran U z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) <-> A. k e. NN ( U ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
70	45, 69	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. ran U z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) <-> A. k e. NN ( U ` k ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
71	67, 70	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ran U z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )
72		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( k = ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) -> ( z <_ k <-> z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
73	72	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) -> ( A. z e. ran U z <_ k <-> A. z e. ran U z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
74	73	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) e. RR /\ A. z e. ran U z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) -> E. k e. RR A. z e. ran U z <_ k )
75	59, 71, 74	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. k e. RR A. z e. ran U z <_ k )
76		ressxr 10083	. . . . . . 7 |- RR C_ RR*
77	36, 76	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ph -> ran U C_ RR* )
78		supxrbnd2 12152	. . . . . 6 |- ( ran U C_ RR* -> ( E. k e. RR A. z e. ran U z <_ k <-> sup ( ran U , RR* , < ) < +oo ) )
79	77, 78	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. k e. RR A. z e. ran U z <_ k <-> sup ( ran U , RR* , < ) < +oo ) )
80	75, 79	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran U , RR* , < ) < +oo )
81		supxrbnd 12158	. . . 4 |- ( ( ran U C_ RR /\ ran U =/= (/) /\ sup ( ran U , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( ran U , RR* , < ) e. RR )
82	36, 53, 80, 81	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran U , RR* , < ) e. RR )
83		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. CC )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
85	84	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 x. m ) = ( m + m ) )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2 x. m ) - 1 ) = ( ( m + m ) - 1 ) )
87		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 1 e. CC )
88	84, 84, 87	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m + m ) - 1 ) = ( m + ( m - 1 ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2 x. m ) - 1 ) = ( m + ( m - 1 ) ) )
90		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN )
91		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. NN0 )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m - 1 ) e. NN0 )
93		nnnn0addcl 11323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. NN /\ ( m - 1 ) e. NN0 ) -> ( m + ( m - 1 ) ) e. NN )
94	90, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + ( m - 1 ) ) e. NN )
95	89, 94	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2 x. m ) - 1 ) e. NN )
96		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> ( n / 2 ) = ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) )
97	96	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> ( ( n / 2 ) e. NN <-> ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
98	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> ( G ` ( n / 2 ) ) = ( G ` ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) ) )
99		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> ( n + 1 ) = ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) )
100	99	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> ( ( n + 1 ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) = ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) )
102	97, 98, 101	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( G ` ( n / 2 ) ) , ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) = if ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) ) )
103		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G ` ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) ) e. _V
104		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) e. _V
105	103, 104	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) ) e. _V
106	102, 26, 105	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) e. NN -> ( H ` ( ( 2 x. m ) - 1 ) ) = if ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) ) )
107	95, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` ( ( 2 x. m ) - 1 ) ) = if ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) ) )
108		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. NN
109		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN ) -> ( 2 x. m ) e. NN )
110	108, 90, 109	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 x. m ) e. NN )
111	110	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 x. m ) e. CC )
112		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. CC
113		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2 x. m ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 x. m ) )
114	111, 112, 113	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 x. m ) )
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. m ) / 2 ) )
116		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. CC
117		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
118		divcan3 10711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. m ) / 2 ) = m )
119	116, 117, 118	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. CC -> ( ( 2 x. m ) / 2 ) = m )
120	84, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2 x. m ) / 2 ) = m )
121	115, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) = m )
122	121, 90	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN )
123		nneo 11461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) e. NN -> ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN <-> -. ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
124	95, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN <-> -. ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
125	124	con2bid 344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN <-> -. ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
126	122, 125	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> -. ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN )
127	126	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> if ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) ) = ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) )
128	121	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) + 1 ) / 2 ) ) = ( F ` m ) )
129	107, 127, 128	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` ( ( 2 x. m ) - 1 ) ) = ( F ` m ) )
130		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( ( 2 x. m ) - 1 ) ) )
131	130	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( ( 2 x. m ) - 1 ) -> ( ( H ` k ) = ( F ` m ) <-> ( H ` ( ( 2 x. m ) - 1 ) ) = ( F ` m ) ) )
132	131	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 2 x. m ) - 1 ) e. NN /\ ( H ` ( ( 2 x. m ) - 1 ) ) = ( F ` m ) ) -> E. k e. NN ( H ` k ) = ( F ` m ) )
133	95, 129, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> E. k e. NN ( H ` k ) = ( F ` m ) )
134		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H ` k ) = ( F ` m ) -> ( 1st ` ( H ` k ) ) = ( 1st ` ( F ` m ) ) )
135	134	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` k ) = ( F ` m ) -> ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z <-> ( 1st ` ( F ` m ) ) < z ) )
136		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H ` k ) = ( F ` m ) -> ( 2nd ` ( H ` k ) ) = ( 2nd ` ( F ` m ) ) )
137	136	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` k ) = ( F ` m ) -> ( z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) <-> z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) )
138	135, 137	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` k ) = ( F ` m ) -> ( ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( F ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
139	138	biimprcd 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` ( F ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> ( ( H ` k ) = ( F ` m ) -> ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
140	139	reximdv 3016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( F ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> ( E. k e. NN ( H ` k ) = ( F ` m ) -> E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
141	133, 140	syl5com 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( F ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
142	141	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
143	142	ralimdv 2963	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) -> A. z e. A E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
144		ovolfioo 23236	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
145	2, 21, 144	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) <-> A. z e. A E. m e. NN ( ( 1st ` ( F ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( F ` m ) ) ) ) )
146		ovolfioo 23236	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. H ) <-> A. z e. A E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
147	2, 27, 146	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. H ) <-> A. z e. A E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
148	143, 145, 147	3imtr4d 283	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A C_ U. ran ( (,) o. F ) -> A C_ U. ran ( (,) o. H ) ) )
149	62, 148	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U. ran ( (,) o. H ) )
150		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 2 x. m ) -> ( n / 2 ) = ( ( 2 x. m ) / 2 ) )
151	150	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 2 x. m ) -> ( ( n / 2 ) e. NN <-> ( ( 2 x. m ) / 2 ) e. NN ) )
152	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 2 x. m ) -> ( G ` ( n / 2 ) ) = ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) )
153		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( 2 x. m ) -> ( n + 1 ) = ( ( 2 x. m ) + 1 ) )
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( 2 x. m ) -> ( ( n + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / 2 ) )
155	154	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( 2 x. m ) -> ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) = ( F ` ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / 2 ) ) )
156	151, 152, 155	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( 2 x. m ) -> if ( ( n / 2 ) e. NN , ( G ` ( n / 2 ) ) , ( F ` ( ( n + 1 ) / 2 ) ) ) = if ( ( ( 2 x. m ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / 2 ) ) ) )
157		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) e. _V
158		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / 2 ) ) e. _V
159	157, 158	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( ( ( 2 x. m ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / 2 ) ) ) e. _V
160	156, 26, 159	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. m ) e. NN -> ( H ` ( 2 x. m ) ) = if ( ( ( 2 x. m ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / 2 ) ) ) )
161	110, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` ( 2 x. m ) ) = if ( ( ( 2 x. m ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / 2 ) ) ) )
162	120, 90	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2 x. m ) / 2 ) e. NN )
163	162	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> if ( ( ( 2 x. m ) / 2 ) e. NN , ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) , ( F ` ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / 2 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) )
164	120	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( G ` ( ( 2 x. m ) / 2 ) ) = ( G ` m ) )
165	161, 163, 164	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( H ` ( 2 x. m ) ) = ( G ` m ) )
166		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( 2 x. m ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( 2 x. m ) ) )
167	166	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( 2 x. m ) -> ( ( H ` k ) = ( G ` m ) <-> ( H ` ( 2 x. m ) ) = ( G ` m ) ) )
168	167	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. m ) e. NN /\ ( H ` ( 2 x. m ) ) = ( G ` m ) ) -> E. k e. NN ( H ` k ) = ( G ` m ) )
169	110, 165, 168	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> E. k e. NN ( H ` k ) = ( G ` m ) )
170		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H ` k ) = ( G ` m ) -> ( 1st ` ( H ` k ) ) = ( 1st ` ( G ` m ) ) )
171	170	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` k ) = ( G ` m ) -> ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z <-> ( 1st ` ( G ` m ) ) < z ) )
172		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H ` k ) = ( G ` m ) -> ( 2nd ` ( H ` k ) ) = ( 2nd ` ( G ` m ) ) )
173	172	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` k ) = ( G ` m ) -> ( z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) <-> z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) )
174	171, 173	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` k ) = ( G ` m ) -> ( ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
175	174	biimprcd 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> ( ( H ` k ) = ( G ` m ) -> ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
176	175	reximdv 3016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> ( E. k e. NN ( H ` k ) = ( G ` m ) -> E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
177	169, 176	syl5com 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
178	177	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
179	178	ralimdv 2963	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. B E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) -> A. z e. B E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
180		ovolfioo 23236	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ RR /\ G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. B E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
181	4, 12, 180	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) <-> A. z e. B E. m e. NN ( ( 1st ` ( G ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( G ` m ) ) ) ) )
182		ovolfioo 23236	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ RR /\ H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( B C_ U. ran ( (,) o. H ) <-> A. z e. B E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
183	4, 27, 182	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B C_ U. ran ( (,) o. H ) <-> A. z e. B E. k e. NN ( ( 1st ` ( H ` k ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` k ) ) ) ) )
184	179, 181, 183	3imtr4d 283	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B C_ U. ran ( (,) o. G ) -> B C_ U. ran ( (,) o. H ) ) )
185	64, 184	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ U. ran ( (,) o. H ) )
186	149, 185	unssd 3789	. . . 4 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ U. ran ( (,) o. H ) )
187	29	ovollb 23247	. . . 4 |- ( ( H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ ( A u. B ) C_ U. ran ( (,) o. H ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ sup ( ran U , RR* , < ) )
188	27, 186, 187	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ sup ( ran U , RR* , < ) )
189		ovollecl 23251	. . 3 |- ( ( ( A u. B ) C_ RR /\ sup ( ran U , RR* , < ) e. RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ sup ( ran U , RR* , < ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
190	5, 82, 188, 189	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
191	59	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) e. RR* )
192		supxrleub 12156	. . . 4 |- ( ( ran U C_ RR* /\ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) e. RR* ) -> ( sup ( ran U , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) <-> A. z e. ran U z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
193	77, 191, 192	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran U , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) <-> A. z e. ran U z <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) ) )
194	71, 193	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> sup ( ran U , RR* , < ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )
195	190, 82, 59, 188, 194	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) + C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   seqcseq 12801   abscabs 13974   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ovol 23233

This theorem is referenced by:  ovolunlem2  23266