Theorem sylow3lem2 18043

Description: Lemma for sylow3 18048, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup K in the group action .(+) acting on all of G is the normalizer N_G(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	|- X = ( Base ` G )
sylow3.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow3.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow3.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow3lem1.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow3lem1.d	|- .- = ( -g ` G )
sylow3lem1.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
sylow3lem2.k	|- ( ph -> K e. ( P pSyl G ) )
sylow3lem2.h	|- H = { u e. X | ( u .(+) K ) = K }
sylow3lem2.n	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. K <-> ( y .+ x ) e. K ) }

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem2	|- ( ph -> H = N )

Distinct variable groups:   x, u, y, z, .-   u, .(+) , x, y, z   x, H, y   u, K, x, y, z   u, N, z   u, X, x, y, z   u, G, x, y, z   ph, u, x, y, z   u, .+ , x, y, z   u, P, x, y, z

Allowed substitution hints:   H( z, u)   N( x, y)

Proof of Theorem sylow3lem2

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3lem2.n	. . . . 5 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. K <-> ( y .+ x ) e. K ) }
2		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. K <-> ( y .+ x ) e. K ) } C_ X
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . 4 |- N C_ X
4		sseqin2 3817	. . . 4 |- ( N C_ X <-> ( X i^i N ) = N )
5	3, 4	mpbi 220	. . 3 |- ( X i^i N ) = N
6		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. X ) -> u e. X )
7		sylow3lem2.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ( P pSyl G ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. X ) -> K e. ( P pSyl G ) )
9		mptexg 6484	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( P pSyl G ) -> ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) e. _V )
10		rnexg 7098	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) e. _V -> ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) e. _V )
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. X ) -> ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) e. _V )
12		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = K ) -> y = K )
13		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = K ) -> x = u )
14	13	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ y = K ) -> ( x .+ z ) = ( u .+ z ) )
15	14, 13	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = K ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( u .+ z ) .- u ) )
16	12, 15	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = u /\ y = K ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
17	16	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = u /\ y = K ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
18		sylow3lem1.m	. . . . . . . . 9 |- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
19	17, 18	ovmpt2ga 6790	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. X /\ K e. ( P pSyl G ) /\ ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) e. _V ) -> ( u .(+) K ) = ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
20	6, 8, 11, 19	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. X ) -> ( u .(+) K ) = ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ u e. N ) -> ( u .(+) K ) = ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
22		slwsubg 18025	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( P pSyl G ) -> K e. (SubGrp ` G ) )
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. X ) -> K e. (SubGrp ` G ) )
25		sylow3.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
26		sylow3lem1.a	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
27		sylow3lem1.d	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) = ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) )
29	25, 26, 27, 28, 1	conjnmz 17694	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (SubGrp ` G ) /\ u e. N ) -> K = ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
30	24, 29	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ u e. N ) -> K = ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
31	21, 30	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ u e. N ) -> ( u .(+) K ) = K )
32		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( u .(+) K ) = K ) -> u e. X )
33		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> ( u .(+) K ) = K )
34	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> ( u .(+) K ) = ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
35	33, 34	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> K = ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
36	35	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> ( ( u .+ w ) e. K <-> ( u .+ w ) e. ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) )
37		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u .+ w ) e. _V
38		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( u .+ w ) -> ( v = ( ( u .+ z ) .- u ) <-> ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( u .+ w ) -> ( E. z e. K v = ( ( u .+ z ) .- u ) <-> E. z e. K ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
40	28	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) = { v | E. z e. K v = ( ( u .+ z ) .- u ) }
41	37, 39, 40	elab2 3354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u .+ w ) e. ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) <-> E. z e. K ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) )
42		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) )
43		sylow3.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G e. Grp )
44	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> G e. Grp )
45		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> u e. X )
46	25	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> K C_ X )
47	23, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K C_ X )
48	47	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> K C_ X )
49		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> z e. K )
50	48, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> z e. X )
51	25, 26, 27	grpaddsubass 17505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. X /\ z e. X /\ u e. X ) ) -> ( ( u .+ z ) .- u ) = ( u .+ ( z .- u ) ) )
52	44, 45, 50, 45, 51	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( ( u .+ z ) .- u ) = ( u .+ ( z .- u ) ) )
53	42, 52	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( u .+ ( z .- u ) ) = ( u .+ w ) )
54	25, 27	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X /\ u e. X ) -> ( z .- u ) e. X )
55	44, 50, 45, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( z .- u ) e. X )
56		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> w e. X )
57	25, 26	grplcan 17477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( z .- u ) e. X /\ w e. X /\ u e. X ) ) -> ( ( u .+ ( z .- u ) ) = ( u .+ w ) <-> ( z .- u ) = w ) )
58	44, 55, 56, 45, 57	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( ( u .+ ( z .- u ) ) = ( u .+ w ) <-> ( z .- u ) = w ) )
59	53, 58	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( z .- u ) = w )
60	25, 26, 27	grpsubadd 17503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( z e. X /\ u e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( z .- u ) = w <-> ( w .+ u ) = z ) )
61	44, 50, 45, 56, 60	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( ( z .- u ) = w <-> ( w .+ u ) = z ) )
62	59, 61	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( w .+ u ) = z )
63	62, 49	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( z e. K /\ ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) -> ( w .+ u ) e. K )
64	63	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> ( E. z e. K ( u .+ w ) = ( ( u .+ z ) .- u ) -> ( w .+ u ) e. K ) )
65	41, 64	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> ( ( u .+ w ) e. ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) -> ( w .+ u ) e. K ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( w .+ u ) e. K )
67		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w .+ u ) -> ( u .+ z ) = ( u .+ ( w .+ u ) ) )
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w .+ u ) -> ( ( u .+ z ) .- u ) = ( ( u .+ ( w .+ u ) ) .- u ) )
69		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u .+ ( w .+ u ) ) .- u ) e. _V
70	68, 28, 69	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w .+ u ) e. K -> ( ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) ` ( w .+ u ) ) = ( ( u .+ ( w .+ u ) ) .- u ) )
71	66, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) ` ( w .+ u ) ) = ( ( u .+ ( w .+ u ) ) .- u ) )
72	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> G e. Grp )
73		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> u e. X )
74		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> w e. X )
75	25, 26	grpass 17431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. X /\ w e. X /\ u e. X ) ) -> ( ( u .+ w ) .+ u ) = ( u .+ ( w .+ u ) ) )
76	72, 73, 74, 73, 75	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( ( u .+ w ) .+ u ) = ( u .+ ( w .+ u ) ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( ( ( u .+ w ) .+ u ) .- u ) = ( ( u .+ ( w .+ u ) ) .- u ) )
78	25, 26	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ w e. X ) -> ( u .+ w ) e. X )
79	72, 73, 74, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( u .+ w ) e. X )
80	25, 26, 27	grppncan 17506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( u .+ w ) e. X /\ u e. X ) -> ( ( ( u .+ w ) .+ u ) .- u ) = ( u .+ w ) )
81	72, 79, 73, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( ( ( u .+ w ) .+ u ) .- u ) = ( u .+ w ) )
82	71, 77, 81	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) ` ( w .+ u ) ) = ( u .+ w ) )
83		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u .+ z ) .- u ) e. _V
84	83, 28	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) Fn K
85		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) Fn K /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) ` ( w .+ u ) ) e. ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
86	84, 66, 85	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) ` ( w .+ u ) ) e. ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
87	82, 86	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ u ) e. K ) -> ( u .+ w ) e. ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) )
88	87	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> ( ( w .+ u ) e. K -> ( u .+ w ) e. ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) ) )
89	65, 88	impbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> ( ( u .+ w ) e. ran ( z e. K |-> ( ( u .+ z ) .- u ) ) <-> ( w .+ u ) e. K ) )
90	36, 89	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( ( u .(+) K ) = K /\ w e. X ) ) -> ( ( u .+ w ) e. K <-> ( w .+ u ) e. K ) )
91	90	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( u .(+) K ) = K ) /\ w e. X ) -> ( ( u .+ w ) e. K <-> ( w .+ u ) e. K ) )
92	91	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( u .(+) K ) = K ) -> A. w e. X ( ( u .+ w ) e. K <-> ( w .+ u ) e. K ) )
93	1	elnmz 17633	. . . . . 6 |- ( u e. N <-> ( u e. X /\ A. w e. X ( ( u .+ w ) e. K <-> ( w .+ u ) e. K ) ) )
94	32, 92, 93	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ ( u .(+) K ) = K ) -> u e. N )
95	31, 94	impbida 877	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. X ) -> ( u e. N <-> ( u .(+) K ) = K ) )
96	95	rabbi2dva 3821	. . 3 |- ( ph -> ( X i^i N ) = { u e. X | ( u .(+) K ) = K } )
97	5, 96	syl5eqr 2670	. 2 |- ( ph -> N = { u e. X | ( u .(+) K ) = K } )
98		sylow3lem2.h	. 2 |- H = { u e. X | ( u .(+) K ) = K }
99	97, 98	syl6reqr 2675	1 |- ( ph -> H = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Primecprime 15385   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   pSyl cslw 17947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-slw 17951

This theorem is referenced by:  sylow3lem3  18044