Theorem sylow3lem1 18042

Description: Lemma for sylow3 18048, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	|- X = ( Base ` G )
sylow3.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow3.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow3.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow3lem1.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow3lem1.d	|- .- = ( -g ` G )
sylow3lem1.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem1	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .-   x, .(+) , y, z   x, X, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem1

Dummy variables a b c u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2		ovex 6678	. . 3 |- ( P pSyl G ) e. _V
3	1, 2	jctir 561	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ ( P pSyl G ) e. _V ) )
4		sylow3.xf	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. Fin )
5		sylow3.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. Prime )
6		sylow3.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` G )
7	6	fislw 18040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ P e. Prime ) -> ( y e. ( P pSyl G ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( P pSyl G ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
9	8	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( P pSyl G ) ) -> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
10	9	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
11	10	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y e. (SubGrp ` G ) )
12		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> x e. X )
13		sylow3lem1.a	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
14		sylow3lem1.d	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) )
16	6, 13, 14, 15	conjsubg 17692	. . . . . . 7 |- ( ( y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
17	11, 12, 16	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
18	6, 13, 14, 15	conjsubgen 17693	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
19	11, 12, 18	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
20	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> X e. Fin )
21	6	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. (SubGrp ` G ) -> y C_ X )
22	11, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y C_ X )
23		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ y C_ X ) -> y e. Fin )
24	20, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y e. Fin )
25	6	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X )
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X )
27		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin )
28	20, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin )
29		hashen 13135	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
31	19, 30	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
32	10	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
33	31, 32	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
34	6	fislw 18040	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ P e. Prime ) -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
35	1, 4, 5, 34	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
37	17, 33, 36	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) )
38	37	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. ( P pSyl G ) ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) )
39		sylow3lem1.m	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
40	39	fmpt2 7237	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. ( P pSyl G ) ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
41	38, 40	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
42	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> G e. Grp )
43		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
44	6, 43	grpidcl 17450	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
45	42, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( 0g ` G ) e. X )
46		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a e. ( P pSyl G ) )
47		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> y = a )
48		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> x = ( 0g ` G ) )
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( 0g ` G ) .+ z ) )
50	49, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) )
51	47, 50	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
52	51	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
53		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
54	53	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) e. _V
55	54	rnex 7100	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) e. _V
56	52, 39, 55	ovmpt2a 6791	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
57	45, 46, 56	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
58	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
59		slwsubg 18025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( P pSyl G ) -> a e. (SubGrp ` G ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a e. (SubGrp ` G ) )
61	6	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. (SubGrp ` G ) -> a C_ X )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a C_ X )
63	62	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
64	6, 13, 43	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
65	58, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) = ( z .- ( 0g ` G ) ) )
67	6, 43, 14	grpsubid1 17500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .- ( 0g ` G ) ) = z )
68	58, 63, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( z .- ( 0g ` G ) ) = z )
69	66, 68	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) = z )
70	69	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ( z e. a |-> z ) )
71		mptresid 5456	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> z ) = ( _I |` a )
72	70, 71	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ( _I |` a ) )
73	72	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ran ( _I |` a ) )
74		rnresi 5479	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` a ) = a
75	73, 74	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = a )
76	57, 75	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a )
77		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c .+ z ) .- c ) e. _V
78		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( ( c .+ z ) .- c ) -> ( b .+ w ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( ( c .+ z ) .- c ) -> ( ( b .+ w ) .- b ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
80	77, 79	abrexco 6502	. . . . . . . . 9 |- { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) }
81		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
82		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. ( P pSyl G ) )
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> y = a )
84		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> x = c )
85	84	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( c .+ z ) )
86	85, 84	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( c .+ z ) .- c ) )
87	83, 86	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
88	87	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
89	53	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) e. _V
90	89	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) e. _V
91	88, 39, 90	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
92	81, 82, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) = ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) )
94	93	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) = { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) }
95	92, 94	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } )
96	95	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) <-> E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
97	96	abbidv 2741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) } )
98	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
100		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
101	6, 13	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .+ c ) e. X )
102	98, 100, 81, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .+ c ) e. X )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( b .+ c ) e. X )
104	63	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
105	6, 13	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( b .+ c ) e. X /\ z e. X ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X )
106	99, 103, 104, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X )
107	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> c e. X )
108	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> b e. X )
109	6, 13, 14	grpsubsub4 17508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X /\ c e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
110	99, 106, 107, 108, 109	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
111	6, 13	grpass 17431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
112	99, 108, 107, 104, 111	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
113	112	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) = ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) )
114	6, 13	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ c e. X /\ z e. X ) -> ( c .+ z ) e. X )
115	99, 107, 104, 114	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( c .+ z ) e. X )
116	6, 13, 14	grpaddsubass 17505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ ( c .+ z ) e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
117	99, 108, 115, 107, 116	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
118	113, 117	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
120	110, 119	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
121	120	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) <-> u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) ) )
122	121	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) <-> E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) ) )
123	122	abbidv 2741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) } )
124	80, 97, 123	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) } )
125		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) )
126	125	rnmpt 5371	. . . . . . . 8 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) }
127		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
128	127	rnmpt 5371	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) = { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) }
129	124, 126, 128	3eqtr4g 2681	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
130	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
131	130, 81, 82	fovrnd 6806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) e. ( P pSyl G ) )
132		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> y = ( c .(+) a ) )
133		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> x = b )
134	133	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
135	134, 133	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( b .+ z ) .- b ) )
136	132, 135	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ z ) .- b ) ) )
137		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( b .+ z ) = ( b .+ w ) )
138	137	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( b .+ z ) .- b ) = ( ( b .+ w ) .- b ) )
139	138	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ z ) .- b ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) )
140	136, 139	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
141	140	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
142		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( c .(+) a ) e. _V
143	142	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) e. _V
144	143	rnex 7100	. . . . . . . . 9 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) e. _V
145	141, 39, 144	ovmpt2a 6791	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. X /\ ( c .(+) a ) e. ( P pSyl G ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
146	100, 131, 145	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
147		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> y = a )
148		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> x = ( b .+ c ) )
149	148	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( b .+ c ) .+ z ) )
150	149, 148	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
151	147, 150	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
152	151	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
153	53	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) e. _V
154	153	rnex 7100	. . . . . . . . 9 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) e. _V
155	152, 39, 154	ovmpt2a 6791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b .+ c ) e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
156	102, 82, 155	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
157	129, 146, 156	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
158	157	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
159	76, 158	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
160	159	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
161	41, 160	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) /\ A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) )
162	6, 13, 43	isga 17724	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) <-> ( ( G e. Grp /\ ( P pSyl G ) e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) /\ A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) ) )
163	3, 161, 162	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   ^cexp 12860   #chash 13117   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   GrpAct cga 17722   pSyl cslw 17947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-ga 17723  df-od 17948  df-pgp 17950  df-slw 17951

This theorem is referenced by:  sylow3lem3  18044  sylow3lem5  18046