Theorem txpconn 31214

Description: The topological product of two path-connected spaces is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txpconn	|- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> ( R tX S ) e. PConn )

Proof of Theorem txpconn

Dummy variables f x y g h t u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pconntop 31207	. . 3 |- ( R e. PConn -> R e. Top )
2		pconntop 31207	. . 3 |- ( S e. PConn -> S e. Top )
3		txtop 21372	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> ( R tX S ) e. Top )
5		an6 1408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. PConn /\ x e. U. R /\ z e. U. R ) /\ ( S e. PConn /\ y e. U. S /\ w e. U. S ) ) <-> ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. R = U. R
7	6	pconncn 31206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. PConn /\ x e. U. R /\ z e. U. R ) -> E. g e. ( II Cn R ) ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. S = U. S
9	8	pconncn 31206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. PConn /\ y e. U. S /\ w e. U. S ) -> E. h e. ( II Cn S ) ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) )
10	7, 9	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. PConn /\ x e. U. R /\ z e. U. R ) /\ ( S e. PConn /\ y e. U. S /\ w e. U. S ) ) -> ( E. g e. ( II Cn R ) ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ E. h e. ( II Cn S ) ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) )
11	5, 10	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) -> ( E. g e. ( II Cn R ) ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ E. h e. ( II Cn S ) ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) )
12		reeanv 3107	. . . . . . . . 9 |- ( E. g e. ( II Cn R ) E. h e. ( II Cn S ) ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) <-> ( E. g e. ( II Cn R ) ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ E. h e. ( II Cn S ) ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) )
13	11, 12	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) -> E. g e. ( II Cn R ) E. h e. ( II Cn S ) ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) )
14		iiuni 22684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. )
16	14, 15	txcnmpt 21427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
17	16	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
18		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = 0 -> ( g ` t ) = ( g ` 0 ) )
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = 0 -> ( h ` t ) = ( h ` 0 ) )
21	19, 20	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = 0 -> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. = <. ( g ` 0 ) , ( h ` 0 ) >. )
22		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( g ` 0 ) , ( h ` 0 ) >. e. _V
23	21, 15, 22	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 0 ) = <. ( g ` 0 ) , ( h ` 0 ) >. )
24	18, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 0 ) = <. ( g ` 0 ) , ( h ` 0 ) >.
25		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) )
26	25	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( g ` 0 ) = x )
27		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) )
28	27	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( h ` 0 ) = y )
29	26, 28	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> <. ( g ` 0 ) , ( h ` 0 ) >. = <. x , y >. )
30	24, 29	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 0 ) = <. x , y >. )
31		1elunit 12291	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = 1 -> ( g ` t ) = ( g ` 1 ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = 1 -> ( h ` t ) = ( h ` 1 ) )
34	32, 33	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = 1 -> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. = <. ( g ` 1 ) , ( h ` 1 ) >. )
35		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( g ` 1 ) , ( h ` 1 ) >. e. _V
36	34, 15, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 1 ) = <. ( g ` 1 ) , ( h ` 1 ) >. )
37	31, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 1 ) = <. ( g ` 1 ) , ( h ` 1 ) >.
38	25	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( g ` 1 ) = z )
39	27	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( h ` 1 ) = w )
40	38, 39	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> <. ( g ` 1 ) , ( h ` 1 ) >. = <. z , w >. )
41	37, 40	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 1 ) = <. z , w >. )
42		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) -> ( f ` 0 ) = ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 0 ) )
43	42	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) -> ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. <-> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 0 ) = <. x , y >. ) )
44		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) -> ( f ` 1 ) = ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 1 ) )
45	44	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) -> ( ( f ` 1 ) = <. z , w >. <-> ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 1 ) = <. z , w >. ) )
46	43, 45	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) -> ( ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) <-> ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
47	46	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( ( t e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( g ` t ) , ( h ` t ) >. ) ` 1 ) = <. z , w >. ) ) -> E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
48	17, 30, 41, 47	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) /\ ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) ) ) -> E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
49	48	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) /\ ( g e. ( II Cn R ) /\ h e. ( II Cn S ) ) ) -> ( ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) -> E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
50	49	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) -> ( E. g e. ( II Cn R ) E. h e. ( II Cn S ) ( ( ( g ` 0 ) = x /\ ( g ` 1 ) = z ) /\ ( ( h ` 0 ) = y /\ ( h ` 1 ) = w ) ) -> E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
51	13, 50	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) -> E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
52	51	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) ) /\ ( z e. U. R /\ w e. U. S ) ) -> E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
53	52	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) /\ ( x e. U. R /\ y e. U. S ) ) -> A. z e. U. R A. w e. U. S E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
54	53	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> A. x e. U. R A. y e. U. S A. z e. U. R A. w e. U. S E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
55		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( v = <. z , w >. -> ( ( f ` 1 ) = v <-> ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
56	55	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( v = <. z , w >. -> ( ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) <-> ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
57	56	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( v = <. z , w >. -> ( E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) <-> E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
58	57	ralxp 5263	. . . . . 6 |- ( A. v e. ( U. R X. U. S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) <-> A. z e. U. R A. w e. U. S E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
59		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. x , y >. -> ( ( f ` 0 ) = u <-> ( f ` 0 ) = <. x , y >. ) )
60	59	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( u = <. x , y >. -> ( ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) <-> ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
61	60	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( u = <. x , y >. -> ( E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) <-> E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
62	61	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( u = <. x , y >. -> ( A. z e. U. R A. w e. U. S E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) <-> A. z e. U. R A. w e. U. S E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
63	58, 62	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( u = <. x , y >. -> ( A. v e. ( U. R X. U. S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) <-> A. z e. U. R A. w e. U. S E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) ) )
64	63	ralxp 5263	. . . 4 |- ( A. u e. ( U. R X. U. S ) A. v e. ( U. R X. U. S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) <-> A. x e. U. R A. y e. U. S A. z e. U. R A. w e. U. S E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = <. x , y >. /\ ( f ` 1 ) = <. z , w >. ) )
65	54, 64	sylibr 224	. . 3 |- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> A. u e. ( U. R X. U. S ) A. v e. ( U. R X. U. S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) )
66	6, 8	txuni 21395	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
67	1, 2, 66	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> ( U. R X. U. S ) = U. ( R tX S ) )
68	67	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> ( A. v e. ( U. R X. U. S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) <-> A. v e. U. ( R tX S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) ) )
69	67, 68	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> ( A. u e. ( U. R X. U. S ) A. v e. ( U. R X. U. S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) <-> A. u e. U. ( R tX S ) A. v e. U. ( R tX S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) ) )
70	65, 69	mpbid 222	. 2 |- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> A. u e. U. ( R tX S ) A. v e. U. ( R tX S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) )
71		eqid 2622	. . 3 |- U. ( R tX S ) = U. ( R tX S )
72	71	ispconn 31205	. 2 |- ( ( R tX S ) e. PConn <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ A. u e. U. ( R tX S ) A. v e. U. ( R tX S ) E. f e. ( II Cn ( R tX S ) ) ( ( f ` 0 ) = u /\ ( f ` 1 ) = v ) ) )
73	4, 70, 72	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. PConn /\ S e. PConn ) -> ( R tX S ) e. PConn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   Topctop 20698   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   IIcii 22678  PConncpconn 31201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365  df-ii 22680  df-pconn 31203

This theorem is referenced by:  txsconn  31223