Theorem unfilem3 8226

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unfilem3	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B ~~ ( ( A +o B ) \ A ) )

Proof of Theorem unfilem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . 4 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( A +o B ) = ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) )
2		id 22	. . . 4 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> A = if ( A e. om , A , (/) ) )
3	1, 2	difeq12d 3729	. . 3 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( ( A +o B ) \ A ) = ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) )
4	3	breq2d 4665	. 2 |- ( A = if ( A e. om , A , (/) ) -> ( B ~~ ( ( A +o B ) \ A ) <-> B ~~ ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) ) )
5		id 22	. . 3 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> B = if ( B e. om , B , (/) ) )
6		oveq2 6658	. . . 4 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) = ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) )
7	6	difeq1d 3727	. . 3 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) = ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) )
8	5, 7	breq12d 4666	. 2 |- ( B = if ( B e. om , B , (/) ) -> ( B ~~ ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o B ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) <-> if ( B e. om , B , (/) ) ~~ ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) ) )
9		peano1 7085	. . . 4 |- (/) e. om
10	9	elimel 4150	. . 3 |- if ( B e. om , B , (/) ) e. om
11		ovex 6678	. . . 4 |- ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) e. _V
12		difexg 4808	. . . 4 |- ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) e. _V -> ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) e. _V
14	9	elimel 4150	. . . 4 |- if ( A e. om , A , (/) ) e. om
15		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. if ( B e. om , B , (/) ) |-> ( if ( A e. om , A , (/) ) +o x ) ) = ( x e. if ( B e. om , B , (/) ) |-> ( if ( A e. om , A , (/) ) +o x ) )
16	14, 10, 15	unfilem2 8225	. . 3 |- ( x e. if ( B e. om , B , (/) ) |-> ( if ( A e. om , A , (/) ) +o x ) ) : if ( B e. om , B , (/) ) -1-1-onto-> ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) )
17		f1oen2g 7972	. . 3 |- ( ( if ( B e. om , B , (/) ) e. om /\ ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) e. _V /\ ( x e. if ( B e. om , B , (/) ) |-> ( if ( A e. om , A , (/) ) +o x ) ) : if ( B e. om , B , (/) ) -1-1-onto-> ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) ) -> if ( B e. om , B , (/) ) ~~ ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) ) )
18	10, 13, 16, 17	mp3an 1424	. 2 |- if ( B e. om , B , (/) ) ~~ ( ( if ( A e. om , A , (/) ) +o if ( B e. om , B , (/) ) ) \ if ( A e. om , A , (/) ) )
19	4, 8, 18	dedth2h 4140	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B ~~ ( ( A +o B ) \ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-en 7956

This theorem is referenced by:  unfi  8227