Theorem unfi 8227

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
unfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Proof of Theorem unfi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 8192	. 2 |- ( B e. Fin -> ( B \ A ) e. Fin )
2		reeanv 3107	. . . 4 |- ( E. x e. om E. y e. om ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) <-> ( E. x e. om A ~~ x /\ E. y e. om ( B \ A ) ~~ y ) )
3		isfi 7979	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 7979	. . . . 5 |- ( ( B \ A ) e. Fin <-> E. y e. om ( B \ A ) ~~ y )
5	3, 4	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B \ A ) e. Fin ) <-> ( E. x e. om A ~~ x /\ E. y e. om ( B \ A ) ~~ y ) )
6	2, 5	bitr4i 267	. . 3 |- ( E. x e. om E. y e. om ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) <-> ( A e. Fin /\ ( B \ A ) e. Fin ) )
7		nnacl 7691	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x +o y ) e. om )
8		unfilem3 8226	. . . . . . 7 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> y ~~ ( ( x +o y ) \ x ) )
9		entr 8008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B \ A ) ~~ y /\ y ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) -> ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) )
10	9	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( y ~~ ( ( x +o y ) \ x ) -> ( ( B \ A ) ~~ y -> ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) )
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( B \ A ) ~~ y -> ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) )
12		disjdif 4040	. . . . . . . 8 |- ( A i^i ( B \ A ) ) = (/)
13		disjdif 4040	. . . . . . . 8 |- ( x i^i ( ( x +o y ) \ x ) ) = (/)
14		unen 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) /\ ( ( A i^i ( B \ A ) ) = (/) /\ ( x i^i ( ( x +o y ) \ x ) ) = (/) ) ) -> ( A u. ( B \ A ) ) ~~ ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) )
15	12, 13, 14	mpanr12 721	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) -> ( A u. ( B \ A ) ) ~~ ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) )
16		undif2 4044	. . . . . . . . 9 |- ( A u. ( B \ A ) ) = ( A u. B )
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( A u. ( B \ A ) ) = ( A u. B ) )
18		nnaword1 7709	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> x C_ ( x +o y ) )
19		undif 4049	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( x +o y ) <-> ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) = ( x +o y ) )
20	18, 19	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) = ( x +o y ) )
21	17, 20	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( A u. ( B \ A ) ) ~~ ( x u. ( ( x +o y ) \ x ) ) <-> ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) )
22	15, 21	syl5ib 234	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ ( ( x +o y ) \ x ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) )
23	11, 22	sylan2d 499	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) -> ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) )
24		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( z = ( x +o y ) -> ( ( A u. B ) ~~ z <-> ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) )
25	24	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( x +o y ) e. om /\ ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) -> E. z e. om ( A u. B ) ~~ z )
26		isfi 7979	. . . . . 6 |- ( ( A u. B ) e. Fin <-> E. z e. om ( A u. B ) ~~ z )
27	25, 26	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( x +o y ) e. om /\ ( A u. B ) ~~ ( x +o y ) ) -> ( A u. B ) e. Fin )
28	7, 23, 27	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) -> ( A u. B ) e. Fin ) )
29	28	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. x e. om E. y e. om ( A ~~ x /\ ( B \ A ) ~~ y ) -> ( A u. B ) e. Fin )
30	6, 29	sylbir 225	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B \ A ) e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )
31	1, 30	sylan2 491	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  unfi2  8229  difinf  8230  xpfi  8231  prfi  8235  tpfi  8236  fnfi  8238  iunfi  8254  pwfilem  8260  fsuppun  8294  fsuppunfi  8295  ressuppfi  8301  fiin  8328  cantnfp1lem1  8575  ficardun2  9025  ackbij1lem6  9047  ackbij1lem16  9057  fin23lem28  9162  fin23lem30  9164  isfin1-3  9208  axcclem  9279  hashun  13171  hashunlei  13212  hashmap  13222  hashbclem  13236  hashf1lem1  13239  hashf1lem2  13240  hashf1  13241  fsumsplitsn  14474  fsummsnunz  14483  fsumsplitsnun  14484  fsummsnunzOLD  14485  fsumsplitsnunOLD  14486  incexclem  14568  isumltss  14580  fprodsplitsn  14720  lcmfunsnlem2lem1  15351  lcmfunsnlem2lem2  15352  lcmfunsnlem2  15353  lcmfun  15358  ramub1lem1  15730  fpwipodrs  17164  acsfiindd  17177  symgfisg  17888  gsumzunsnd  18355  gsumunsnfd  18356  psrbagaddcl  19370  mplsubg  19437  mpllss  19438  dsmmacl  20085  fctop  20808  uncmp  21206  bwth  21213  lfinun  21328  locfincmp  21329  comppfsc  21335  1stckgenlem  21356  ptbasin  21380  cfinfil  21697  fin1aufil  21736  alexsubALTlem3  21853  tmdgsum  21899  tsmsfbas  21931  tsmsgsum  21942  tsmsres  21947  tsmsxplem1  21956  prdsmet  22175  prdsbl  22296  icccmplem2  22626  rrxmval  23188  rrxmet  23191  rrxdstprj1  23192  ovolfiniun  23269  volfiniun  23315  fta1glem2  23926  fta1lem  24062  aannenlem2  24084  aalioulem2  24088  dchrfi  24980  usgrfilem  26219  ffsrn  29504  eulerpartlemt  30433  ballotlemgun  30586  hgt750lemb  30734  hgt750leme  30736  lindsenlbs  33404  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  itg2addnclem2  33462  ftc1anclem7  33491  ftc1anc  33493  prdsbnd  33592  pclfinN  35186  elrfi  37257  mzpcompact2lem  37314  eldioph2  37325  lsmfgcl  37644  fiuneneq  37775  unfid  39345  dvmptfprodlem  40159  dvnprodlem2  40162  fourierdlem50  40373  fourierdlem51  40374  fourierdlem54  40377  fourierdlem76  40399  fourierdlem80  40403  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem114  40437  sge0resplit  40623  sge0iunmptlemfi  40630  sge0xaddlem1  40650  hoiprodp1  40802  sge0hsphoire  40803  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem5  40813  hspmbllem2  40841  fsummmodsnunz  41345  mndpsuppfi  42156