Theorem unir1 8676

Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
unir1	|- U. ( R1 " On ) = _V

Proof of Theorem unir1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 8610	. 2 |- ( A. x ( x C_ U. ( R1 " On ) -> x e. U. ( R1 " On ) ) -> U. ( R1 " On ) = _V )
2		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
3	2	r1elss 8669	. . 3 |- ( x e. U. ( R1 " On ) <-> x C_ U. ( R1 " On ) )
4	3	biimpri 218	. 2 |- ( x C_ U. ( R1 " On ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
5	1, 4	mpg 1724	1 |- U. ( R1 " On ) = _V

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   "cima 5117   Oncon0 5723   R1cr1 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627

This theorem is referenced by:  jech9.3  8677  rankwflem  8678  rankval  8679  rankr1g  8695  rankid  8696  ssrankr1  8698  rankel  8702  rankval3  8703  rankpw  8706  rankss  8712  ranksn  8717  rankuni2  8718  rankun  8719  rankpr  8720  rankop  8721  r1rankid  8722  rankeq0  8724  rankr1b  8727  dfac12a  8970  hsmex2  9255  grutsk  9644