Theorem grutsk 9644

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk	|- Univ = { x e. Tarski | Tr x }

Proof of Theorem grutsk

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0tsk 9577	. . . . . . . 8 |- (/) e. Tarski
2		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( y e. Tarski <-> (/) e. Tarski ) )
3	1, 2	mpbiri 248	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> y e. Tarski )
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( y e. Univ -> ( y = (/) -> y e. Tarski ) )
5		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
6		unir1 8676	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( R1 " On ) = _V
7	5, 6	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 |- y e. U. ( R1 " On )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y i^i On ) = ( y i^i On )
9	8	grur1 9642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Univ /\ y e. U. ( R1 " On ) ) -> y = ( R1 ` ( y i^i On ) ) )
10	7, 9	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Univ -> y = ( R1 ` ( y i^i On ) ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Univ /\ y =/= (/) ) -> y = ( R1 ` ( y i^i On ) ) )
12	8	gruina 9640	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Univ /\ y =/= (/) ) -> ( y i^i On ) e. Inacc )
13		inatsk 9600	. . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i On ) e. Inacc -> ( R1 ` ( y i^i On ) ) e. Tarski )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Univ /\ y =/= (/) ) -> ( R1 ` ( y i^i On ) ) e. Tarski )
15	11, 14	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Univ /\ y =/= (/) ) -> y e. Tarski )
16	15	ex 450	. . . . . 6 |- ( y e. Univ -> ( y =/= (/) -> y e. Tarski ) )
17	4, 16	pm2.61dne 2880	. . . . 5 |- ( y e. Univ -> y e. Tarski )
18		grutr 9615	. . . . 5 |- ( y e. Univ -> Tr y )
19	17, 18	jca 554	. . . 4 |- ( y e. Univ -> ( y e. Tarski /\ Tr y ) )
20		grutsk1 9643	. . . 4 |- ( ( y e. Tarski /\ Tr y ) -> y e. Univ )
21	19, 20	impbii 199	. . 3 |- ( y e. Univ <-> ( y e. Tarski /\ Tr y ) )
22		treq 4758	. . . 4 |- ( x = y -> ( Tr x <-> Tr y ) )
23	22	elrab 3363	. . 3 |- ( y e. { x e. Tarski | Tr x } <-> ( y e. Tarski /\ Tr y ) )
24	21, 23	bitr4i 267	. 2 |- ( y e. Univ <-> y e. { x e. Tarski | Tr x } )
25	24	eqriv 2619	1 |- Univ = { x e. Tarski | Tr x }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U.cuni 4436   Tr wtr 4752   "cima 5117   Oncon0 5723   ` cfv 5888   R1cr1 8625   Inacccina 9505   Tarskictsk 9570   Univcgru 9612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-smo 7443  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-har 8463  df-tc 8613  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-aleph 8766  df-cf 8767  df-acn 8768  df-ac 8939  df-wina 9506  df-ina 9507  df-tsk 9571  df-gru 9613

This theorem is referenced by: (None)