Theorem unopadj 28778

Description: The inverse (converse) of a unitary operator is its adjoint. Equation 2 of [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopadj	|- ( ( T e. UniOp /\ A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( A .ih ( `' T ` B ) ) )

Proof of Theorem unopadj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 28775	. . . . 5 |- ( T e. UniOp -> T : ~H -1-1-onto-> ~H )
2		f1ocnvfv2 6533	. . . . 5 |- ( ( T : ~H -1-1-onto-> ~H /\ B e. ~H ) -> ( T ` ( `' T ` B ) ) = B )
3	1, 2	sylan 488	. . . 4 |- ( ( T e. UniOp /\ B e. ~H ) -> ( T ` ( `' T ` B ) ) = B )
4	3	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( T e. UniOp /\ A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( T ` ( `' T ` B ) ) = B )
5	4	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( T e. UniOp /\ A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih ( T ` ( `' T ` B ) ) ) = ( ( T ` A ) .ih B ) )
6		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( T : ~H -1-1-onto-> ~H -> `' T : ~H -1-1-onto-> ~H )
7		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( `' T : ~H -1-1-onto-> ~H -> `' T : ~H --> ~H )
8	1, 6, 7	3syl 18	. . . . 5 |- ( T e. UniOp -> `' T : ~H --> ~H )
9	8	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( T e. UniOp /\ B e. ~H ) -> ( `' T ` B ) e. ~H )
10	9	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( T e. UniOp /\ A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( `' T ` B ) e. ~H )
11		unop 28774	. . 3 |- ( ( T e. UniOp /\ A e. ~H /\ ( `' T ` B ) e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih ( T ` ( `' T ` B ) ) ) = ( A .ih ( `' T ` B ) ) )
12	10, 11	syld3an3 1371	. 2 |- ( ( T e. UniOp /\ A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih ( T ` ( `' T ` B ) ) ) = ( A .ih ( `' T ` B ) ) )
13	5, 12	eqtr3d 2658	1 |- ( ( T e. UniOp /\ A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( A .ih ( `' T ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   `'ccnv 5113   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   .ih csp 27779   UniOpcuo 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-hvsub 27828  df-unop 28702

This theorem is referenced by:  unoplin  28779  unopadj2  28797