Theorem unopf1o 28775

Description: A unitary operator in Hilbert space is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unopf1o	|- ( T e. UniOp -> T : ~H -1-1-onto-> ~H )

Proof of Theorem unopf1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunop 28731	. . . . 5 |- ( T e. UniOp <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )
2	1	simplbi 476	. . . 4 |- ( T e. UniOp -> T : ~H -onto-> ~H )
3		fof 6115	. . . 4 |- ( T : ~H -onto-> ~H -> T : ~H --> ~H )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( T e. UniOp -> T : ~H --> ~H )
5		unop 28774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih ( T ` x ) ) = ( x .ih x ) )
6	5	3anidm23 1385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih ( T ` x ) ) = ( x .ih x ) )
7	6	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih ( T ` x ) ) = ( x .ih x ) )
8		unop 28774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih ( T ` y ) ) = ( y .ih y ) )
9	8	3anidm23 1385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih ( T ` y ) ) = ( y .ih y ) )
10	9	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih ( T ` y ) ) = ( y .ih y ) )
11	7, 10	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` x ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` y ) ) ) = ( ( x .ih x ) + ( y .ih y ) ) )
12		unop 28774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) )
13		unop 28774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih ( T ` x ) ) = ( y .ih x ) )
14	13	3com23 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih ( T ` x ) ) = ( y .ih x ) )
15	12, 14	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` x ) ) ) = ( ( x .ih y ) + ( y .ih x ) ) )
16	11, 15	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. UniOp /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` x ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` y ) ) ) - ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` x ) ) ) ) = ( ( ( x .ih x ) + ( y .ih y ) ) - ( ( x .ih y ) + ( y .ih x ) ) ) )
17	16	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` x ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` y ) ) ) - ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` x ) ) ) ) = ( ( ( x .ih x ) + ( y .ih y ) ) - ( ( x .ih y ) + ( y .ih x ) ) ) )
18		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` x ) e. ~H )
19		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` y ) e. ~H )
20	18, 19	anim12dan 882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( T ` x ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) )
21	4, 20	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( T ` x ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) )
22		normlem9at 27978	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T ` x ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) .ih ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) ) = ( ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` x ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` y ) ) ) - ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` x ) ) ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) .ih ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) ) = ( ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` x ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` y ) ) ) - ( ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) + ( ( T ` y ) .ih ( T ` x ) ) ) ) )
24		normlem9at 27978	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x -h y ) .ih ( x -h y ) ) = ( ( ( x .ih x ) + ( y .ih y ) ) - ( ( x .ih y ) + ( y .ih x ) ) ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( x -h y ) .ih ( x -h y ) ) = ( ( ( x .ih x ) + ( y .ih y ) ) - ( ( x .ih y ) + ( y .ih x ) ) ) )
26	17, 23, 25	3eqtr4rd 2667	. . . . . . 7 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( x -h y ) .ih ( x -h y ) ) = ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) .ih ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) ) )
27	26	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x -h y ) .ih ( x -h y ) ) = 0 <-> ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) .ih ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) ) = 0 ) )
28		hvsubcl 27874	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x -h y ) e. ~H )
29		his6 27956	. . . . . . . . 9 |- ( ( x -h y ) e. ~H -> ( ( ( x -h y ) .ih ( x -h y ) ) = 0 <-> ( x -h y ) = 0h ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( x -h y ) .ih ( x -h y ) ) = 0 <-> ( x -h y ) = 0h ) )
31		hvsubeq0 27925	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x -h y ) = 0h <-> x = y ) )
32	30, 31	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( x -h y ) .ih ( x -h y ) ) = 0 <-> x = y ) )
33	32	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( x -h y ) .ih ( x -h y ) ) = 0 <-> x = y ) )
34		hvsubcl 27874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T ` x ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) e. ~H )
35		his6 27956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) e. ~H -> ( ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) .ih ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) ) = 0 <-> ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) = 0h ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T ` x ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) .ih ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) ) = 0 <-> ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) = 0h ) )
37		hvsubeq0 27925	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T ` x ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) = 0h <-> ( T ` x ) = ( T ` y ) ) )
38	36, 37	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( T ` x ) e. ~H /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) .ih ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) ) = 0 <-> ( T ` x ) = ( T ` y ) ) )
39	21, 38	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) .ih ( ( T ` x ) -h ( T ` y ) ) ) = 0 <-> ( T ` x ) = ( T ` y ) ) )
40	27, 33, 39	3bitr3rd 299	. . . . 5 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) <-> x = y ) )
41	40	biimpd 219	. . . 4 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
42	41	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( T e. UniOp -> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
43		dff13 6512	. . 3 |- ( T : ~H -1-1-> ~H <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) ) )
44	4, 42, 43	sylanbrc 698	. 2 |- ( T e. UniOp -> T : ~H -1-1-> ~H )
45		df-f1o 5895	. 2 |- ( T : ~H -1-1-onto-> ~H <-> ( T : ~H -1-1-> ~H /\ T : ~H -onto-> ~H ) )
46	44, 2, 45	sylanbrc 698	1 |- ( T e. UniOp -> T : ~H -1-1-onto-> ~H )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   ~Hchil 27776   .ih csp 27779   0hc0v 27781   -h cmv 27782   UniOpcuo 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-hvsub 27828  df-unop 28702

This theorem is referenced by:  unopnorm  28776  cnvunop  28777  unopadj  28778  unoplin  28779  counop  28780  unopbd  28874