Theorem unoplin 28779

Description: A unitary operator is linear. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
unoplin	|- ( T e. UniOp -> T e. LinOp )

Proof of Theorem unoplin

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 28775	. . 3 |- ( T e. UniOp -> T : ~H -1-1-onto-> ~H )
2		f1of 6137	. . 3 |- ( T : ~H -1-1-onto-> ~H -> T : ~H --> ~H )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( T e. UniOp -> T : ~H --> ~H )
4		simplll 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> T e. UniOp )
5		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
6		hvaddcl 27869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
7	5, 6	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
8	7	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
10		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> w e. ~H )
11		unopadj 28778	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. UniOp /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( `' T ` w ) ) )
12	4, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( `' T ` w ) ) )
13		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> x e. CC )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> x e. CC )
15		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> y e. ~H )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> y e. ~H )
17		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> z e. ~H )
18		cnvunop 28777	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. UniOp -> `' T e. UniOp )
19		unopf1o 28775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' T e. UniOp -> `' T : ~H -1-1-onto-> ~H )
20		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' T : ~H -1-1-onto-> ~H -> `' T : ~H --> ~H )
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. UniOp -> `' T : ~H --> ~H )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. UniOp /\ w e. ~H ) -> ( `' T ` w ) e. ~H )
23	22	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. UniOp /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( `' T ` w ) e. ~H )
24	23	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( `' T ` w ) e. ~H )
25		hiassdi 27948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ ( z e. ~H /\ ( `' T ` w ) e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( `' T ` w ) ) = ( ( x x. ( y .ih ( `' T ` w ) ) ) + ( z .ih ( `' T ` w ) ) ) )
26	14, 16, 17, 24, 25	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( ( x .h y ) +h z ) .ih ( `' T ` w ) ) = ( ( x x. ( y .ih ( `' T ` w ) ) ) + ( z .ih ( `' T ` w ) ) ) )
27	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) -> ( T ` y ) e. ~H )
28	27	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( T ` y ) e. ~H )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( T ` y ) e. ~H )
30	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ z e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. UniOp /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
32	31	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
33		hiassdi 27948	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. CC /\ ( T ` y ) e. ~H ) /\ ( ( T ` z ) e. ~H /\ w e. ~H ) ) -> ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) = ( ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) + ( ( T ` z ) .ih w ) ) )
34	14, 29, 32, 10, 33	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) = ( ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) + ( ( T ` z ) .ih w ) ) )
35		unopadj 28778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih w ) = ( y .ih ( `' T ` w ) ) )
36	35	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` y ) .ih w ) = ( y .ih ( `' T ` w ) ) )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. UniOp /\ y e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) = ( x x. ( y .ih ( `' T ` w ) ) ) )
38	37	adantlrl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ w e. ~H ) -> ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) = ( x x. ( y .ih ( `' T ` w ) ) ) )
39	38	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) = ( x x. ( y .ih ( `' T ` w ) ) ) )
40		unopadj 28778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. UniOp /\ z e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih w ) = ( z .ih ( `' T ` w ) ) )
41	40	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. UniOp /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih w ) = ( z .ih ( `' T ` w ) ) )
42	41	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih w ) = ( z .ih ( `' T ` w ) ) )
43	39, 42	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( T ` y ) .ih w ) ) + ( ( T ` z ) .ih w ) ) = ( ( x x. ( y .ih ( `' T ` w ) ) ) + ( z .ih ( `' T ` w ) ) ) )
44	34, 43	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( x x. ( y .ih ( `' T ` w ) ) ) + ( z .ih ( `' T ` w ) ) ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) )
45	12, 26, 44	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) )
46	45	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> A. w e. ~H ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) )
47		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H )
48	7, 47	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H )
49	48	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H )
50		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` y ) e. ~H )
51		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( T ` y ) e. ~H ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
52	50, 51	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( T : ~H --> ~H /\ y e. ~H ) ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
53	52	an12s 843	. . . . . . . . 9 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
54	53	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H )
55		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ z e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
56	55	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( T ` z ) e. ~H )
57		hvaddcl 27869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h ( T ` y ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) e. ~H )
58	54, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) e. ~H )
59		hial2eq 27963	. . . . . . 7 |- ( ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) e. ~H /\ ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) e. ~H ) -> ( A. w e. ~H ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) <-> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
60	49, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( A. w e. ~H ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) <-> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
61	3, 60	sylanl1 682	. . . . 5 |- ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( A. w e. ~H ( ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) .ih w ) = ( ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) .ih w ) <-> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
62	46, 61	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )
63	62	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( T e. UniOp /\ ( x e. CC /\ y e. ~H ) ) -> A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )
64	63	ralrimivva 2971	. 2 |- ( T e. UniOp -> A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )
65		ellnop 28717	. 2 |- ( T e. LinOp <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )
66	3, 64, 65	sylanbrc 698	1 |- ( T e. UniOp -> T e. LinOp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   `'ccnv 5113   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   .ih csp 27779   LinOpclo 27804   UniOpcuo 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-hvsub 27828  df-lnop 28700  df-unop 28702

This theorem is referenced by:  unopadj2  28797  idlnop  28851  elunop2  28872  nmopun  28873  unopbd  28874