Theorem upbdrech2 39522

Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech2.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
upbdrech2.bd	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
upbdrech2.c	|- C = if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
upbdrech2	|- ( ph -> ( C e. RR /\ A. x e. A B <_ C ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   y, B, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( x)   C( x, y, z)

Proof of Theorem upbdrech2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech2.c	. . 3 |- C = if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) )
2		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) = 0 )
3		0red 10041	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> 0 e. RR )
4	2, 3	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( A = (/) -> if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) e. RR )
5	4	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) e. RR )
6		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> -. A = (/) )
7	6	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) = sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) )
8	6	neqned 2801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> A =/= (/) )
9		upbdrech2.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
10	9	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. A = (/) ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
11		upbdrech2.bd	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) = sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < )
14	8, 10, 12, 13	upbdrech 39519	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ( sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) e. RR /\ A. x e. A B <_ sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) )
15	14	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) e. RR )
16	7, 15	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) e. RR )
17	5, 16	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ph -> if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) e. RR )
18	1, 17	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
19		rzal 4073	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. x e. A B <_ C )
20	19	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> A. x e. A B <_ C )
21	14	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> A. x e. A B <_ sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) )
22		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. A = (/) -> if ( A = (/) , 0 , sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) = sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) )
23	1, 22	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( -. A = (/) -> C = sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) )
24	23	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( -. A = (/) -> ( B <_ C <-> B <_ sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) )
25	24	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( -. A = (/) -> ( A. x e. A B <_ C <-> A. x e. A B <_ sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) )
26	25	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ( A. x e. A B <_ C <-> A. x e. A B <_ sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) ) )
27	21, 26	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> A. x e. A B <_ C )
28	20, 27	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B <_ C )
29	18, 28	jca 554	1 |- ( ph -> ( C e. RR /\ A. x e. A B <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  ssfiunibd  39523