Theorem ssfiunibd 39523

Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfiunibd.fi	|- ( ph -> A e. Fin )
ssfiunibd.b	|- ( ( ph /\ z e. U. A ) -> B e. RR )
ssfiunibd.bd	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. z e. x B <_ y )
ssfiunibd.ssun	|- ( ph -> C C_ U. A )

Assertion

Ref	Expression
ssfiunibd	|- ( ph -> E. w e. RR A. z e. C B <_ w )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   w, A, x, z   x, B, y   w, B   x, C   ph, x, y, z   ph, w

Allowed substitution hints:   B( z)   C( y, z, w)

Proof of Theorem ssfiunibd

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfiunibd.fi	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ z e. x ) -> ph )
3		19.8a 2052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. x /\ x e. A ) -> E. x ( z e. x /\ x e. A ) )
4	3	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ z e. x ) -> E. x ( z e. x /\ x e. A ) )
5		eluni 4439	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U. A <-> E. x ( z e. x /\ x e. A ) )
6	4, 5	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ z e. x ) -> z e. U. A )
7	6	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ z e. x ) -> z e. U. A )
8		ssfiunibd.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. U. A ) -> B e. RR )
9	2, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ z e. x ) -> B e. RR )
10		ssfiunibd.bd	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. z e. x B <_ y )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) = if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) )
12	9, 10, 11	upbdrech2 39522	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) e. RR /\ A. z e. x B <_ if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) ) )
13	12	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) e. RR )
14	13	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) e. RR )
15		fimaxre3 10970	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) e. RR ) -> E. w e. RR A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w )
16	1, 14, 15	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E. w e. RR A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w )
17		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z ( ph /\ w e. RR )
18		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ z A
19		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ z x = (/)
20		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ z 0
21		nfre1 3005	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z E. z e. x u = B
22	21	nfab 2769	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z { u | E. z e. x u = B }
23		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z RR
24		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z <
25	22, 23, 24	nfsup 8357	. . . . . . . . 9 |- F/_ z sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < )
26	19, 20, 25	nfif 4115	. . . . . . . 8 |- F/_ z if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) )
27		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ z <_
28		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ z w
29	26, 27, 28	nfbr 4699	. . . . . . 7 |- F/ z if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w
30	18, 29	nfral 2945	. . . . . 6 |- F/ z A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w
31	17, 30	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ z ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w )
32		ssfiunibd.ssun	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C C_ U. A )
33	32	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> z e. U. A )
34	33, 5	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> E. x ( z e. x /\ x e. A ) )
35		exancom 1787	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x ( z e. x /\ x e. A ) <-> E. x ( x e. A /\ z e. x ) )
36	34, 35	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> E. x ( x e. A /\ z e. x ) )
37		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A z e. x <-> E. x ( x e. A /\ z e. x ) )
38	36, 37	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> E. x e. A z e. x )
39	38	ad4ant14 1293	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ z e. C ) -> E. x e. A z e. x )
40		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ph /\ w e. RR )
41		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w
42	40, 41	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w )
43		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x z e. C
44	42, 43	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ z e. C )
45		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x B <_ w
46	9	3impa 1259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> B e. RR )
47	46	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> B e. RR )
48	47	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> B e. RR )
49		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. x -> -. x = (/) )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ z e. x ) -> -. x = (/) )
51	50	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A /\ z e. x ) -> if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) = sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) )
52	51	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ z e. x ) -> sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) = if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) )
53	52	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) = if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) )
54	13	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) e. RR )
55	53, 54	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) e. RR )
56	55	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) e. RR )
57	56	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) e. RR )
58		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> w e. RR )
59		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ u ( ph /\ x e. A )
60		nfab1 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ u { u | E. z e. x u = B }
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ u RR
62		abid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. { u | E. z e. x u = B } <-> E. z e. x u = B )
63	62	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. { u | E. z e. x u = B } -> E. z e. x u = B )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ u e. { u | E. z e. x u = B } ) -> E. z e. x u = B )
65		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ z ( ph /\ x e. A )
66	21	nfsab 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ z u e. { u | E. z e. x u = B }
67	65, 66	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ z ( ( ph /\ x e. A ) /\ u e. { u | E. z e. x u = B } )
68		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ z u e. RR
69		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ z e. x /\ u = B ) -> u = B )
70	9	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ z e. x /\ u = B ) -> B e. RR )
71	69, 70	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ z e. x /\ u = B ) -> u e. RR )
72	71	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( z e. x -> ( u = B -> u e. RR ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ u e. { u | E. z e. x u = B } ) -> ( z e. x -> ( u = B -> u e. RR ) ) )
74	67, 68, 73	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ u e. { u | E. z e. x u = B } ) -> ( E. z e. x u = B -> u e. RR ) )
75	64, 74	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ u e. { u | E. z e. x u = B } ) -> u e. RR )
76	75	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( u e. { u | E. z e. x u = B } -> u e. RR ) )
77	59, 60, 61, 76	ssrd 3608	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { u | E. z e. x u = B } C_ RR )
78	77	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> { u | E. z e. x u = B } C_ RR )
79		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> z e. x )
80		elabrexg 39206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. x /\ B e. RR ) -> B e. { u | E. z e. x u = B } )
81	79, 46, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> B e. { u | E. z e. x u = B } )
82		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. { u | E. z e. x u = B } -> { u | E. z e. x u = B } =/= (/) )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> { u | E. z e. x u = B } =/= (/) )
84		abid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. { v | E. z e. x v = B } <-> E. z e. x v = B )
85	84	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. { v | E. z e. x v = B } -> E. z e. x v = B )
86		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = v -> ( u = B <-> v = B ) )
87	86	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = v -> ( E. z e. x u = B <-> E. z e. x v = B ) )
88	87	cbvabv 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { u | E. z e. x u = B } = { v | E. z e. x v = B }
89	85, 88	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. { u | E. z e. x u = B } -> E. z e. x v = B )
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. z e. x B <_ y ) /\ v e. { u | E. z e. x u = B } ) -> E. z e. x v = B )
91		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ z A. z e. x B <_ y
92	65, 91	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ z ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. z e. x B <_ y )
93	21	nfsab 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ z v e. { u | E. z e. x u = B }
94	92, 93	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ z ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. z e. x B <_ y ) /\ v e. { u | E. z e. x u = B } )
95		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ z v <_ y
96		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A. z e. x B <_ y /\ z e. x /\ v = B ) -> v = B )
97		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A. z e. x B <_ y /\ z e. x ) -> B <_ y )
98	97	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A. z e. x B <_ y /\ z e. x /\ v = B ) -> B <_ y )
99	96, 98	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A. z e. x B <_ y /\ z e. x /\ v = B ) -> v <_ y )
100	99	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. x B <_ y -> ( z e. x -> ( v = B -> v <_ y ) ) )
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. z e. x B <_ y ) -> ( z e. x -> ( v = B -> v <_ y ) ) )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. z e. x B <_ y ) /\ v e. { u | E. z e. x u = B } ) -> ( z e. x -> ( v = B -> v <_ y ) ) )
103	94, 95, 102	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. z e. x B <_ y ) /\ v e. { u | E. z e. x u = B } ) -> ( E. z e. x v = B -> v <_ y ) )
104	90, 103	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. z e. x B <_ y ) /\ v e. { u | E. z e. x u = B } ) -> v <_ y )
105	104	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ A. z e. x B <_ y ) -> A. v e. { u | E. z e. x u = B } v <_ y )
106	105	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. z e. x B <_ y -> A. v e. { u | E. z e. x u = B } v <_ y ) )
107	106	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. RR A. z e. x B <_ y -> E. y e. RR A. v e. { u | E. z e. x u = B } v <_ y ) )
108	10, 107	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. v e. { u | E. z e. x u = B } v <_ y )
109	108	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> E. y e. RR A. v e. { u | E. z e. x u = B } v <_ y )
110		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( { u | E. z e. x u = B } C_ RR /\ { u | E. z e. x u = B } =/= (/) /\ E. y e. RR A. v e. { u | E. z e. x u = B } v <_ y ) /\ B e. { u | E. z e. x u = B } ) -> B <_ sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) )
111	78, 83, 109, 81, 110	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A /\ z e. x ) -> B <_ sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) )
112	111	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> B <_ sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) )
113	112	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> B <_ sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) )
114	52	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w /\ x e. A /\ z e. x ) -> sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) = if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) )
115		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w /\ x e. A ) -> if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w )
116	115	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w /\ x e. A /\ z e. x ) -> if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w )
117	114, 116	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w /\ x e. A /\ z e. x ) -> sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) <_ w )
118	117	3adant1l 1318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) <_ w )
119	48, 57, 58, 113, 118	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ x e. A /\ z e. x ) -> B <_ w )
120	119	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) -> ( x e. A -> ( z e. x -> B <_ w ) ) )
121	120	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ z e. C ) -> ( x e. A -> ( z e. x -> B <_ w ) ) )
122	44, 45, 121	rexlimd 3026	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ z e. C ) -> ( E. x e. A z e. x -> B <_ w ) )
123	39, 122	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) /\ z e. C ) -> B <_ w )
124	123	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) -> ( z e. C -> B <_ w ) )
125	31, 124	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w ) -> A. z e. C B <_ w )
126	125	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w -> A. z e. C B <_ w ) )
127	126	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. x e. A if ( x = (/) , 0 , sup ( { u | E. z e. x u = B } , RR , < ) ) <_ w -> E. w e. RR A. z e. C B <_ w ) )
128	16, 127	mpd 15	1 |- ( ph -> E. w e. RR A. z e. C B <_ w )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem80  40403