Theorem upbdrech 39519

Description: Choice of an upper bound for a non empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech.a	|- ( ph -> A =/= (/) )
upbdrech.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
upbdrech.bd	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
upbdrech.c	|- C = sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
upbdrech	|- ( ph -> ( C e. RR /\ A. x e. A B <_ C ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   y, B, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( x)   C( x, y, z)

Proof of Theorem upbdrech

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech.c	. . 3 |- C = sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < )
2		upbdrech.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
3	2	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A B e. RR )
4		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. A B e. RR
5		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x z e. RR
6		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A B e. RR /\ x e. A /\ z = B ) -> z = B )
7		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A B e. RR /\ x e. A ) -> B e. RR )
8	7	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A B e. RR /\ x e. A /\ z = B ) -> B e. RR )
9	6, 8	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A B e. RR /\ x e. A /\ z = B ) -> z e. RR )
10	9	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. RR -> ( x e. A -> ( z = B -> z e. RR ) ) )
11	4, 5, 10	rexlimd 3026	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. RR -> ( E. x e. A z = B -> z e. RR ) )
12	11	abssdv 3676	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. RR -> { z | E. x e. A z = B } C_ RR )
13	3, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> { z | E. x e. A z = B } C_ RR )
14		upbdrech.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A =/= (/) )
15		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> B = B )
16	15	rgen 2922	. . . . . . 7 |- A. x e. A B = B
17		r19.2z 4060	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B = B ) -> E. x e. A B = B )
18	14, 16, 17	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. A B = B )
19		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x ph
20		nfre1 3005	. . . . . . . 8 |- F/ x E. x e. A z = B
21	20	nfex 2154	. . . . . . 7 |- F/ x E. z E. x e. A z = B
22		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
23		elex 3212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> B e. _V )
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. _V )
25		isset 3207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V <-> E. z z = B )
26	24, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. z z = B )
27		rspe 3003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ E. z z = B ) -> E. x e. A E. z z = B )
28	22, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. x e. A E. z z = B )
29		rexcom4 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A E. z z = B <-> E. z E. x e. A z = B )
30	28, 29	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. z E. x e. A z = B )
31	30	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A /\ B = B ) -> E. z E. x e. A z = B )
32	31	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> ( B = B -> E. z E. x e. A z = B ) ) )
33	19, 21, 32	rexlimd 3026	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. A B = B -> E. z E. x e. A z = B ) )
34	18, 33	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> E. z E. x e. A z = B )
35		abn0 3954	. . . . 5 |- ( { z | E. x e. A z = B } =/= (/) <-> E. z E. x e. A z = B )
36	34, 35	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> { z | E. x e. A z = B } =/= (/) )
37		upbdrech.bd	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
38		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
39		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( z = B <-> w = B ) )
40	39	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A w = B ) )
41	38, 40	elab 3350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A w = B )
42	41	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { z | E. x e. A z = B } -> E. x e. A w = B )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ w e. { z | E. x e. A z = B } ) -> E. x e. A w = B )
44		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x A. x e. A B <_ y
45	19, 44	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ph /\ A. x e. A B <_ y )
46	20	nfsab 2614	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x w e. { z | E. x e. A z = B }
47	45, 46	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ w e. { z | E. x e. A z = B } )
48		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x w <_ y
49		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ x e. A /\ w = B ) -> w = B )
50		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ x e. A /\ w = B ) -> A. x e. A B <_ y )
51		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ x e. A /\ w = B ) -> x e. A )
52		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A ) -> B <_ y )
53	50, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ x e. A /\ w = B ) -> B <_ y )
54	49, 53	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ x e. A /\ w = B ) -> w <_ y )
55	54	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) -> ( x e. A -> ( w = B -> w <_ y ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ w e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( x e. A -> ( w = B -> w <_ y ) ) )
57	47, 48, 56	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ w e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( E. x e. A w = B -> w <_ y ) )
58	43, 57	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) /\ w e. { z | E. x e. A z = B } ) -> w <_ y )
59	58	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. A B <_ y ) -> A. w e. { z | E. x e. A z = B } w <_ y )
60	59	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ A. x e. A B <_ y ) -> A. w e. { z | E. x e. A z = B } w <_ y )
61	60	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR -> ( A. x e. A B <_ y -> A. w e. { z | E. x e. A z = B } w <_ y ) ) )
62	61	reximdvai 3015	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y -> E. y e. RR A. w e. { z | E. x e. A z = B } w <_ y ) )
63	37, 62	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. { z | E. x e. A z = B } w <_ y )
64		suprcl 10983	. . . 4 |- ( ( { z | E. x e. A z = B } C_ RR /\ { z | E. x e. A z = B } =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. { z | E. x e. A z = B } w <_ y ) -> sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) e. RR )
65	13, 36, 63, 64	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) e. RR )
66	1, 65	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
67	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { z | E. x e. A z = B } C_ RR )
68	30, 35	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { z | E. x e. A z = B } =/= (/) )
69	63	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. w e. { z | E. x e. A z = B } w <_ y )
70		elabrexg 39206	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ B e. RR ) -> B e. { z | E. x e. A z = B } )
71	22, 2, 70	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. { z | E. x e. A z = B } )
72		suprub 10984	. . . . 5 |- ( ( ( { z | E. x e. A z = B } C_ RR /\ { z | E. x e. A z = B } =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. { z | E. x e. A z = B } w <_ y ) /\ B e. { z | E. x e. A z = B } ) -> B <_ sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) )
73	67, 68, 69, 71, 72	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ sup ( { z | E. x e. A z = B } , RR , < ) )
74	73, 1	syl6breqr 4695	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B <_ C )
75	74	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B <_ C )
76	66, 75	jca 554	1 |- ( ph -> ( C e. RR /\ A. x e. A B <_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  upbdrech2  39522