Theorem xltmul2 12123

Description: Extended real version of ltmul2 10874. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltmul2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR+ ) -> ( A < B <-> ( C xe A ) < ( C xe B ) ) )

Proof of Theorem xltmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltmul1 12122	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR+ ) -> ( A < B <-> ( A xe C ) < ( B xe C ) ) )
2		rpxr 11840	. . 3 |- ( C e. RR+ -> C e. RR* )
3		xmulcom 12096	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe C ) = ( C xe A ) )
4	3	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe C ) = ( C xe A ) )
5		xmulcom 12096	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B xe C ) = ( C xe B ) )
6	5	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B xe C ) = ( C xe B ) )
7	4, 6	breq12d 4666	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A xe C ) < ( B xe C ) <-> ( C xe A ) < ( C xe B ) ) )
8	2, 7	syl3an3 1361	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR+ ) -> ( ( A xe C ) < ( B xe C ) <-> ( C xe A ) < ( C xe B ) ) )
9	1, 8	bitrd 268	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR+ ) -> ( A < B <-> ( C xe A ) < ( C xe B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   RR+crp 11832   xecxmu 11945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xmul 11948

This theorem is referenced by: (None)