Theorem canthp1lem1 9474

Description: Lemma for canthp1 9476. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem1	⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1sdom2 8159	. . 3 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜
2		cdaxpdom 9011	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
3	1, 2	mpan2 707	. 2 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
4		sdom0 8092	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1𝑜 ≺ ∅
5		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1𝑜 ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜 ≺ ∅))
6	4, 5	mtbiri 317	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1𝑜 ≺ 𝐴)
7	6	con2i 134	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		neq0 3930	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	sylib 208	. . 3 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
10		relsdom 7962	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex2i 5159	. . . . . . . . 9 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13		enrefg 7987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
15		df2o2 7574	. . . . . . . . 9 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
16		pwpw0 4344	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
17	15, 16	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 = 𝒫 {∅}
18		0ex 4790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
19		vex 3203	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		en2sn 8037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
21	18, 19, 20	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
22		pwen 8133	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
24	17, 23	eqbrtri 4674	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}
25		xpen 8123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
26	14, 24, 25	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27		snex 4908	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
28	27	pwex 4848	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ V
29		uncom 3757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32		undif 4049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
33	31, 32	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
34	29, 33	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35		difexg 4808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		canth2g 8114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38		domunsn 8110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40	34, 39	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
41		xpdom1g 8057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42	28, 40, 41	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43		endomtr 8014	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44	26, 42, 43	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45		pwcdaen 9007	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
46	36, 27, 45	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
47	46	ensymd 8007	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
48		domentr 8015	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
49	44, 47, 48	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
50	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ V)
51		incom 3805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥}))
52		disjdif 4040	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
53	51, 52	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
55		cdaun 8994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
56	36, 50, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57	56, 34	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴)
58		pwen 8133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
60		domentr 8015	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
61	49, 59, 60	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
62	9, 61	exlimddv 1863	. 2 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
63		domtr 8009	. 2 ⊢ (((𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
64	3, 62, 63	syl2anc 693	1 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653   × cxp 5112  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9475  canthp1  9476