Theorem endomtr 8014

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 7982	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8009	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 488	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   class class class wbr 4653   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-f1o 5895  df-en 7956  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  cnvct  8033  undom  8048  xpdom1g  8057  xpdom3  8058  domunsncan  8060  domsdomtr  8095  domen1  8102  mapdom1  8125  mapdom2  8131  mapdom3  8132  php  8144  onomeneq  8150  sucdom2  8156  hartogslem1  8447  harcard  8804  infxpenlem  8836  infpwfien  8885  alephsucdom  8902  mappwen  8935  dfac12lem2  8966  cdalepw  9018  fictb  9067  cfflb  9081  canthp1lem1  9474  pwfseqlem5  9485  pwxpndom2  9487  pwcdandom  9489  gchxpidm  9491  gchhar  9501  tskinf  9591  inar1  9597  gruina  9640  rexpen  14957  mreexdomd  16310  hauspwdom  21304  rectbntr0  22635  rabfodom  29344  snct  29491  dya2iocct  30342  finminlem  32312  lindsdom  33403  poimirlem26  33435  heiborlem3  33612  pellexlem4  37396  pellexlem5  37397  mpct  39393  aacllem  42547