Theorem ccat2s1p2 13406

Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1p2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 13382	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		s1cl 13382	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
5		1z 11407	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		2z 11409	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		1lt2 11194	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
8		fzolb 12476	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
9	5, 6, 7, 8	mpbir3an 1244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^2)
10		s1len 13385	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1
11		s1len 13385	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘⟨“𝑌”⟩) = 1
12	10, 11	oveq12i 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
13		1p1e2 11134	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
14	12, 13	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
15	10, 14	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((#‘⟨“𝑋”⟩)..^((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
16	9, 15	eleqtrri 2700	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ((#‘⟨“𝑋”⟩)..^((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩)))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ((#‘⟨“𝑋”⟩)..^((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩))))
18		ccatval2 13362	. . 3 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ((#‘⟨“𝑋”⟩)..^((#‘⟨“𝑋”⟩) + (#‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))))
19	2, 4, 17, 18	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))))
20	10	oveq2i 6661	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (#‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
21		1m1e0 11089	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
22	20, 21	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (1 − (#‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (1 − (#‘⟨“𝑋”⟩)) = 0)
24	23	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0))
25		s1fv 13390	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
26	24, 25	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
27	26	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (#‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
28	19, 27	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  2c2 11070  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293  ⟨“cs1 13294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302

This theorem is referenced by: (None)