Theorem climub 14392

Description: The limit of a monotonic sequence is an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climub.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climub.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climub.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climub.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
climub	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climub

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		climub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		clim2ser.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	syl6eleq 2711	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzelz 11697	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
8	7	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
9	8	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)))
10		climub.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	expcom 451	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
12	9, 11	vtoclga 3272	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
13	2, 12	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14		climub.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
15	3	uztrn2 11705	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
16	2, 15	sylan 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
17		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
18	17	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
19	18	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)))
20	19, 11	vtoclga 3272	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ))
21	20	impcom 446	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
22	16, 21	syldan 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
23		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
24		elfzuz 12338	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25	3	uztrn2 11705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
26	2, 25	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	26, 10	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
28	24, 27	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
29	28	adantlr 751	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
30		elfzuz 12338	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
31		climub.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
32	26, 31	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
33	30, 32	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
34	33	adantlr 751	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...(𝑗 − 1))) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
35	23, 29, 34	monoord 12831	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑗))
36	1, 6, 13, 14, 22, 35	climlec2 14389	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326   ⇝ cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  climserle  14393  itg2i1fseqle  23521  emcllem7  24728