Theorem elfzuz 12338

Description: A member of a finite set of sequential integers belongs to an upper set of integers. (Contributed by NM, 17-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem elfzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 12336	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simplbi 476	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  elfzel1  12341  elfzelz  12342  elfzle1  12344  eluzfz2b  12350  fzsplit2  12366  fzsplit  12367  fzopth  12378  fzss1  12380  fzss2  12381  fzssuz  12382  fzp1elp1  12394  uzsplit  12412  elfzmlbm  12449  predfz  12464  fzosplit  12501  seqf2  12820  seqfeq2  12824  seqfeq  12826  sermono  12833  seqf1olem2  12841  seqz  12849  seqfeq3  12851  ser0  12853  seqcoll  13248  swrdval2  13420  swrd0val  13421  swrdswrd  13460  swrdccatin12  13491  splid  13504  spllen  13505  splfv1  13506  limsupgre  14212  clim2ser  14385  clim2ser2  14386  isermulc2  14388  iserle  14390  climub  14392  isercolllem1  14395  isercolllem3  14397  isercoll2  14399  iseraltlem1  14412  fsumcvg  14443  fsumser  14461  isumclim3  14490  isumadd  14498  fsump1i  14500  fsum0diaglem  14508  o1fsum  14545  iserabs  14547  cvgcmp  14548  cvgcmpub  14549  cvgcmpce  14550  isumsplit  14572  isum1p  14573  isumsup2  14578  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  climcnds  14583  geoserg  14598  mertenslem1  14616  clim2div  14621  prodf1  14623  prodfn0  14626  ntrivcvgmullem  14633  fprodcvg  14660  fprodntriv  14672  fprodabs  14704  fprodeq0  14705  iprodclim3  14731  iprodmul  14734  fprodefsum  14825  prmind2  15398  prmdvdsfz  15417  pcfac  15603  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  prmgaplem1  15753  prmgaplem2  15754  prmgaplcmlem2  15756  prmgapprmolem  15765  efgtlen  18139  efgredleme  18156  efgredlemc  18158  frgpuplem  18185  ovolunlem1a  23264  ovolicc1  23284  uniioombllem3  23353  dvfsumrlimf  23788  dvfsumlem1  23789  dvfsumlem2  23790  dvfsumlem3  23791  dvfsumlem4  23792  dvfsum2  23797  coeidlem  23993  coeid3  23996  vieta1lem2  24066  mtest  24158  mtestbdd  24159  birthdaylem2  24679  wilth  24797  ftalem4  24802  ftalem5  24803  chtub  24937  mersenne  24952  bposlem6  25014  lgsdilem2  25058  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  dchrisumlem2  25179  dchrisum0lem1  25205  logdivbnd  25245  pntrsumbnd2  25256  pntrlog2bndlem1  25266  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntlemh  25288  pntlemj  25292  axlowdimlem17  25838  fzsplit3  29553  ballotlemfrci  30589  wrdsplex  30618  subfacp1lem3  31164  knoppcnlem11  32493  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  mblfinlem2  33447  mettrifi  33553  geomcau  33555  iunincfi  39272  elfzfzo  39488  fsumsermpt  39811  fmulcl  39813  fmuldfeqlem1  39814  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  stoweidlem11  40228  stoweidlem17  40234  stirlinglem7  40297  fourierdlem15  40339  fourierdlem25  40349  sge0isum  40644  sge0seq  40663  sge0reuz  40664  sge0reuzb  40665  iundjiun  40677  meaiuninclem  40697  carageniuncllem1  40735  carageniuncllem2  40736  caratheodorylem1  40740  ssfz12  41324  iccpartgt  41363  pfxccatin12  41425  pfxccatpfx2  41428