Theorem cssmre 20037

Description: The closed subspaces of a pre-Hilbert space are a Moore system. Unlike many of our other examples of closure systems, this one is not usually an algebraic closure system df-acs 16249: consider the Hilbert space of sequences ℕ⟶ℝ with convergent sum; the subspace of all sequences with finite support is the classic example of a non-closed subspace, but for every finite set of sequences of finite support, there is a finite-dimensional (and hence closed) subspace containing all of the sequences, so if closed subspaces were an algebraic closure system this would violate acsfiel 16315. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssmre.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cssmre.c	⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cssmre	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Proof of Theorem cssmre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cssmre.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		cssmre.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssss 20029	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ⊆ 𝑉)
4		selpw 4165	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑉)
5	3, 4	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))
7	6	ssrdv 3609	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
8	1, 2	css1 20034	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑉 ∈ 𝐶)
9		intss1 4492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ∩ 𝑥 ⊆ 𝑧)
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
11	10	ocv2ss 20017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∩ 𝑥 ⊆ 𝑧 → ((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))
12	10	ocv2ss 20017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑧) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
13	9, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
14	13	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
15		simprl 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)))
16	14, 15	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
17		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
18		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑥)
19	17, 18	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	10, 2	cssi 20028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑧 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑧)))
22	16, 21	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝑧)
23	22	expr 643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
24	23	alrimiv 1855	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
25		vex 3203	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
26	25	elint 4481	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
27	24, 26	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥))) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥)
28	27	ex 450	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑥))
29	28	ssrdv 3609	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥)
30		simp1 1061	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ PreHil)
31		intssuni 4499	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
32	31	3ad2ant3 1084	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥)
33		simp2 1062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝐶)
34	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑉)
35	33, 34	sstrd 3613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉)
36		sspwuni 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑉 ↔ ∪ 𝑥 ⊆ 𝑉)
37	35, 36	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ⊆ 𝑉)
38	32, 37	sstrd 3613	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ⊆ 𝑉)
39	1, 2, 10	iscss2 20030	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∩ 𝑥 ⊆ 𝑉) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥))
40	30, 38, 39	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (∩ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘∩ 𝑥)) ⊆ ∩ 𝑥))
41	29, 40	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐶)
42	7, 8, 41	ismred 16262	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436  ∩ cint 4475  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  Moorecmre 16242  PreHilcphl 19969  ocvcocv 20004  CSubSpccss 20005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-rnghom 18715  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-phl 19971  df-ocv 20007  df-css 20008

This theorem is referenced by:  mrccss  20038