Theorem derangen2 31156

Description: Write the derangement number in terms of the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
derangen2	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘𝐴) = (𝑆‘(#‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem derangen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 13147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		derang.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3		subfac.n	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
4	2, 3	subfacval 31155	. . 3 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝑆‘(#‘𝐴)) = (𝐷‘(1...(#‘𝐴))))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑆‘(#‘𝐴)) = (𝐷‘(1...(#‘𝐴))))
6		hashfz1 13134	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(#‘𝐴))) = (#‘𝐴))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘(1...(#‘𝐴))) = (#‘𝐴))
8		fzfid 12772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(#‘𝐴)) ∈ Fin)
9		hashen 13135	. . . . 5 ⊢ (((1...(#‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘(1...(#‘𝐴))) = (#‘𝐴) ↔ (1...(#‘𝐴)) ≈ 𝐴))
10	8, 9	mpancom 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘(1...(#‘𝐴))) = (#‘𝐴) ↔ (1...(#‘𝐴)) ≈ 𝐴))
11	7, 10	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(#‘𝐴)) ≈ 𝐴)
12	2	derangen 31154	. . 3 ⊢ (((1...(#‘𝐴)) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐷‘(1...(#‘𝐴))) = (𝐷‘𝐴))
13	11, 12	mpancom 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘(1...(#‘𝐴))) = (𝐷‘𝐴))
14	5, 13	eqtr2d 2657	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘𝐴) = (𝑆‘(#‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ≈ cen 7952  Fincfn 7955  1c1 9937  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  31164  subfacp1lem5  31166  derangfmla  31172