Theorem dmgmaddnn0 24753

Description: If 𝐴 is not a nonpositive integer and 𝑁 is a nonnegative integer, then 𝐴 + 𝑁 is also not a nonpositive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmgmn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
dmgmaddnn0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
dmgmaddnn0	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmgmaddnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmgmn0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2	1	eldifad 3586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dmgmaddnn0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 11353	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	2, 4	addcld 10059	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ)
6		eldmgm 24748	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
7	1, 6	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
8	7	simprd 479	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
9	2, 4	negdi2d 10406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 + 𝑁) = (-𝐴 − 𝑁))
10	9	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝐴 − 𝑁) + 𝑁))
11	2	negcld 10379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
12	11, 4	npcand 10396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝐴 − 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
13	10, 12	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = -𝐴)
15		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
16	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17	15, 16	nn0addcld 11355	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ0)
18	14, 17	eqeltrrd 2702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
19	8, 18	mtand 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0)
20		eldmgm 24748	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ ((𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ ¬ -(𝐴 + 𝑁) ∈ ℕ0))
21	5, 19, 20	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑁) ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266  -cneg 10267  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  lgamcvg2  24781  gamp1  24784