Theorem npcand 10396

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 10290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  addlsub  10447  npcan1  10455  ltsubadd  10498  lesubadd  10500  lesub1  10522  lincmb01cmp  12315  expaddzlem  12903  bcpasc  13108  bcn2m1  13111  swrdccatwrd  13468  cshwidxmod  13549  shftuz  13809  o1dif  14360  arisum2  14593  ntrivcvg  14629  ntrivcvgtail  14632  prodrblem  14659  fprodser  14679  fprodm1  14697  risefacval2  14741  fallfacval2  14742  fallfacfwd  14767  binomfallfaclem2  14771  sin01bnd  14915  moddvds  14991  dvdsexp  15049  bitscmp  15160  hashdvds  15480  vdwlem5  15689  vdwlem6  15690  vdwlem8  15692  srgbinomlem4  18543  uniioombllem3  23353  i1faddlem  23460  itg1addlem4  23466  dvcnp2  23683  ftc1lem4  23802  dgrcolem2  24030  plydivlem4  24051  aaliou3lem8  24100  dvtaylp  24124  dvntaylp0  24126  taylthlem1  24127  efif1olem4  24291  tanarg  24365  quart1  24583  dmgmaddnn0  24753  lgamgulm2  24762  gamfac  24793  basellem9  24815  chtublem  24936  logexprlim  24950  dchrptlem1  24989  lgsquadlem1  25105  mudivsum  25219  logsqvma  25231  log2sumbnd  25233  selberglem2  25235  pntrlog2bndlem5  25270  pntlem3  25298  ostth2lem2  25323  brbtwn2  25785  cusgrsize2inds  26349  clwlkclwwlklem2  26901  clwwlksel  26914  clwwlksf  26915  clwwisshclwws  26928  numclwwlkovf2exlem1  27211  numclwlk1lem2fo  27228  numclwwlk2  27240  fzspl  29550  fzsplit3  29553  bcm1n  29554  omndmul3  29713  psgnfzto1stlem  29850  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  signstfvn  30646  reprsuc  30693  breprexplemc  30710  bcm1nt  31623  itg2addnclem  33461  ftc1cnnclem  33483  ftc1anc  33493  caushft  33557  pellexlem6  37398  rmspecfund  37474  rmyluc  37502  jm2.18  37555  jm2.25  37566  hbtlem4  37696  bccm1k  38541  binomcxplemwb  38547  binomcxplemnotnn0  38555  oddfl  39489  zltlesub  39497  fzisoeu  39514  fperiodmul  39518  fzdifsuc2  39525  iccshift  39744  iooshift  39748  fmul01lt1lem2  39817  limcperiod  39860  sumnnodd  39862  cncfperiod  40092  fperdvper  40133  dvbdfbdioolem2  40144  dvnmul  40158  itgsinexp  40170  itgperiod  40197  stoweidlem11  40228  stoweidlem14  40231  stoweidlem26  40243  stoweidlem34  40251  wallispilem5  40286  stirlinglem5  40295  stirlinglem11  40301  stirlinglem12  40302  dirkercncflem1  40320  fourierdlem11  40335  fourierdlem15  40339  fourierdlem26  40350  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem79  40402  fourierdlem81  40404  fourierdlem84  40407  fourierdlem88  40411  fourierdlem90  40413  fourierdlem92  40415  fourierdlem95  40418  fourierdlem97  40420  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem109  40432  fourierdlem111  40434  fourierswlem  40447  fouriersw  40448  elaa2lem  40450  etransclem23  40474  etransclem24  40475  etransclem28  40479  etransclem38  40489  smfmullem1  40998  fargshiftfo  41378  ccatpfx  41409  lighneallem3  41524  nnsum4primeseven  41688  nnsum4primesevenALTV  41689  bgoldbtbndlem4  41696  bgoldbtbnd  41697  m1modmmod  42316  dignn0flhalflem1  42409