Theorem nn0addcld 11355

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 11328	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650   + caddc 9939  ℕ₀cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  expaddz  12904  bccl  13109  ccatrn  13372  swrdccat2  13458  splval2  13508  relexpaddg  13793  rtrclreclem3  13800  mertenslem1  14616  bitsmod  15158  bitsinv1lem  15163  sadcaddlem  15179  sadadd2lem  15181  sadadd  15189  sadass  15193  smupp1  15202  smumul  15215  pcpremul  15548  gzabssqcl  15645  mul4sq  15658  4sqlem12  15660  4sqlem14  15662  4sqlem16  15664  sylow1lem1  18013  efgcpbllemb  18168  coe1tmmul2fv  19648  coe1pwmulfv  19650  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulfsupp  20668  chfacfpmmulgsum  20669  cpmadugsumlemF  20681  mdegmullem  23838  coe1mul3  23859  deg1mul2  23874  ply1domn  23883  ply1divex  23896  plymullem  23972  coeeulem  23980  dgrmul  24026  dvntaylp  24125  taylthlem2  24128  dmgmaddnn0  24753  mumullem2  24906  lgseisenlem2  25101  2sqlem8  25151  vtxdgfisnn0  26371  crctcshwlkn0lem5  26706  crctcshwlkn0  26713  eucrctshift  27103  omndmul2  29712  madjusmdetlem4  29896  oddpwdc  30416  iwrdsplit  30449  fiblem  30460  fibp1  30463  signshlen  30667  fsum2dsub  30685  reprsuc  30693  breprexplemc  30710  subfacp1lem6  31167  faclim2  31634  mon1psubm  37784  itgpowd  37800  radcnvrat  38513  binomcxplemnn0  38548  binomcxplemfrat  38550  itgsinexp  40170  wallispilem5  40286  wallispi2lem2  40289  stirlinglem5  40295  stirlinglem7  40297  fourierdlem48  40371  elaa2lem  40450  etransclem32  40483  etransclem46  40497  sqrtpwpw2p  41450  fmtnofac2lem  41480  fmtnofac2  41481  dignn0flhalflem2  42410