Theorem eucrct2eupth1 27104

Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) from a nonempty graph 𝐺 with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a graph 𝑆 with an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩. This is the special case of eucrct2eupth 27105 (with 𝐽 = (𝑁 − 1)) where the last segment/edge of the circuit is removed. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrct2eupth1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth1.g	⊢ (𝜑 → 0 < (#‘𝐹))
eucrct2eupth1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((#‘𝐹) − 1))
eucrct2eupth1.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eucrct2eupth1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
eucrct2eupth1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
eucrct2eupth1	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eucrct2eupth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrct2eupth1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrct2eupth1.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrct2eupth1.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eucrct2eupth1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((#‘𝐹) − 1))
5		eucrct2eupth1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (#‘𝐹))
6		eupthiswlk 27072	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		wlkcl 26511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
8		nn0z 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
9	8	anim1i 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝐹)))
10		elnnz 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝐹)))
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
12	11	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0 < (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
13	7, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (0 < (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
14	3, 6, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (#‘𝐹) → (#‘𝐹) ∈ ℕ))
15	5, 14	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
16		fzo0end 12560	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
18	4, 17	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
19		eucrct2eupth1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
20		eucrct2eupth1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
21		eucrct2eupth1.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
22		eucrct2eupth1.s	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
23	1, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22	eupthres 27075	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653   ↾ cres 5116   “ cima 5117  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   < clt 10074   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492  Circuitsccrcts 26679  EulerPathsceupth 27057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-eupth 27058

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  27105