Theorem ex-fl 27304

Description: Example for df-fl 12593. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 11094	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 11281	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 11091	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 11195	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4674	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 11112	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 11090	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 10944	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 220	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 10160	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 11197	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 11177	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4680	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 10898	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1424	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 221	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 11079	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4678	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 11407	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 12617	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 955	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 10342	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 10342	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 10572	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 220	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 10160	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 10349	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 10339	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 10351	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 11135	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 4674	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 4674	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 10053	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 10579	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 220	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 11409	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 11412	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 12617	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 955	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 471	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  ℤcz 11377  ⌊cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  ex-ceil  27305