Theorem ex-mod 27306

Description: Example for df-mod 12669. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 11160	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2631	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 11309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 11186	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 11195	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 12718	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1424	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2644	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 11090	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 11213	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 10150	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 11185	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 11194	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
15	13, 14	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2)
16		eluz2b2 11761	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
17	15, 16	mpbir 221	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
18		7prm 15817	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
19		dvdsprm 15415	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
20	17, 18, 19	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
21	12, 20	nemtbir 2889	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
22		2z 11409	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		7nn 11190	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
24	23	nnzi 11401	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
25		dvdsnegb 14999	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
26	22, 24, 25	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
27	21, 26	mtbi 312	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
28		znegcl 11412	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
29		mod2eq1n2dvds 15071	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
30	24, 28, 29	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
31	27, 30	mpbir 221	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
32	9, 31	pm3.2i 471	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074  -cneg 10267  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  5c5 11073  7c7 11075  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687   mod cmo 12668   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by: (None)