Theorem fib0 30461

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib0	⊢ (Fibci‘0) = 0

Proof of Theorem fib0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 30459	. . 3 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6192	. 2 ⊢ (Fibci‘0) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘0)
3		nn0ex 11298	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5		0nn0 11307	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 11308	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	s2cld 13616	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
11		fiblem 30460	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13		2nn 11185	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		lbfzo0 12507	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
15	13, 14	mpbir 221	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
16		s2len 13634	. . . . . . 7 ⊢ (#‘⟨“01”⟩) = 2
17	16	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ (0..^(#‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
18	15, 17	eleqtrri 2700	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^(#‘⟨“01”⟩))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (0..^(#‘⟨“01”⟩)))
20	4, 9, 10, 12, 19	sseqfv1 30451	. . 3 ⊢ (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0))
21	20	trud 1493	. 2 ⊢ ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0)
22		s2fv0 13632	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘0) = 0)
23	5, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“01”⟩‘0) = 0
24	2, 21, 23	3eqtri 2648	1 ⊢ (Fibci‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  ⟨“cs2 13586  seq_strcsseq 30445  Fibcicfib 30458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-sseq 30446  df-fib 30459

This theorem is referenced by:  fib2  30464