Theorem fiblem 30460

Description: Lemma for fib0 30461, fib1 30462 and fibp1 30463. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fiblem	⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2len 13634	. . . . . . 7 ⊢ (#‘⟨“01”⟩) = 2
2	1	eqcomi 2631	. . . . . 6 ⊢ 2 = (#‘⟨“01”⟩)
3	2	fveq2i 6194	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))
4	3	imaeq2i 5464	. . . 4 ⊢ (◡# “ (ℤ≥‘2)) = (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))
5	4	ineq2i 3811	. . 3 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
6		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))
7	5, 6	mpteq12i 4742	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))
8		elin 3796	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))))
9	8	simplbi 476	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10		wrdf 13310	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ Word ℕ0 → 𝑤:(0..^(#‘𝑤))⟶ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(#‘𝑤))⟶ℕ0)
12	8	simprbi 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
13		hashf 13125	. . . . . . . . . 10 ⊢ #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
15		elpreima 6337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (# Fn V → (𝑤 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
17	12, 16	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))
18	17	simprd 479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))
19	18, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2))
20		uznn0sub 11719	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘2) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22		1zzd 11408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23		1p1e2 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
24	23	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(1 + 1)) = (ℤ≥‘2)
25	19, 24	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
26		peano2uzr 11743	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
27	22, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ≥‘1))
28		nnuz 11723	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29	27, 28	syl6eleqr 2712	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ ℕ)
30	29	nnred 11035	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ ℝ)
31		2rp 11837	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
33	30, 32	ltsubrpd 11904	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) < (#‘𝑤))
34		elfzo0 12508	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↔ (((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑤) − 2) < (#‘𝑤)))
35	21, 29, 33, 34	syl3anbrc 1246	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
36	11, 35	ffvelrnd 6360	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37		fzo0end 12560	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑤) ∈ ℕ → ((#‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
38	29, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
39	11, 38	ffvelrnd 6360	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
40	36, 39	nn0addcld 11355	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
41	7, 40	fmpti 6383	1 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071   < clt 10074   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  ⟨“cs2 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593

This theorem is referenced by:  fib0  30461  fib1  30462  fibp1  30463