Theorem fzen2 12768

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzennn.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
fzen2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Proof of Theorem fzen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11692	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 11697	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 11407	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 11419	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 695	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6		fzen 12358	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
8	1	zcnd 11483	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 9994	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 10289	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 694	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
12		zcn 11382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 11382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		addsubass 10291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
15	9, 14	mp3an2 1412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
16	12, 13, 15	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
17	2, 1, 16	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
18	17	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁 + 1) − 𝑀))
19	11, 18	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
20	7, 19	breqtrd 4679	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
21		peano2uz 11741	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		uznn0sub 11719	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
23		fzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
24	23	fzennn 12767	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
25	21, 22, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
26		entr 8008	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∧ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
27	20, 25, 26	syl2anc 693	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065  reccrdg 7505   ≈ cen 7952  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzfi  12771