Theorem zsubcl 11419

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11382	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 11382	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 10329	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 11412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 11417	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 491	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2702	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   − cmin 10266  -cneg 10267  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  peano2zm  11420  zrevaddcl  11422  znnsub  11423  znn0sub  11424  nzadd  11425  zneo  11460  zsubcld  11487  eluzsubi  11715  fzen  12358  uzsubsubfz  12363  fzrev  12403  fzrev2  12404  fzrevral2  12426  fzshftral  12428  fz0fzdiffz0  12448  difelfzle  12452  difelfznle  12453  fzo0n  12490  fzonfzoufzol  12571  elfzomelpfzo  12572  zmodcl  12690  addmodlteq  12745  fzen2  12768  facndiv  13075  bccmpl  13096  bcval5  13105  bcpasc  13108  hashfz  13214  ccatsymb  13366  swrdspsleq  13449  swrdccatin12lem1  13484  swrdccatin12lem2a  13485  swrdccatin12lem2b  13486  swrdccatin12lem2  13489  swrdccat  13493  repswswrd  13531  cshwsublen  13542  cshwidxmodr  13550  2cshwid  13560  3cshw  13564  cshweqdif2  13565  2cshwcshw  13571  cshwcshid  13573  seqshft  13825  isercoll2  14399  zfallfaccl  14752  binomrisefac  14773  bpolydiflem  14785  moddvds  14991  modmulconst  15013  dvds2sub  15016  dvdssub2  15023  dvdssubr  15027  fzocongeq  15046  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  odd2np1  15065  omoe  15088  omeo  15090  divalglem0  15116  divalglem4  15119  divalglem9  15124  divalgb  15127  divalgmod  15129  divalgmodOLD  15130  ndvdsadd  15134  nn0seqcvgd  15283  congr  15378  cncongr1  15381  cncongr2  15382  eulerthlem2  15487  prmdiv  15490  prmdiveq  15491  pythagtriplem4  15524  pythagtriplem8  15528  difsqpwdvds  15591  prmgaplem7  15761  mod2xnegi  15775  cshwshashlem2  15803  mndodcongi  17962  odcong  17968  odf1  17979  odf1o1  17987  efgredleme  18156  srgbinomlem4  18543  plyeq0lem  23966  aaliou3lem1  24097  aaliou3lem2  24098  efif1olem2  24289  wilthlem2  24795  basellem2  24808  dchrptlem1  24989  bposlem6  25014  gausslemma2dlem6  25097  lgsquadlem1  25105  crctcshwlkn0lem7  26708  crctcshwlkn0  26713  clwlkclwwlklem2fv2  26897  ballotlemfelz  30552  fwddifnp1  32272  knoppndvlem2  32504  poimirlem28  33437  irrapxlem1  37386  jm2.24nn  37526  congtr  37532  congadd  37533  congmul  37534  congabseq  37541  acongeq  37550  jm2.26a  37567  jm2.15nn0  37570  jm2.27c  37574  jm3.1  37587  2elfz2melfz  41328  elfzlble  41330  elfzelfzlble  41331  subsubelfzo0  41336  pfxccatin12lem1  41423  pfxccatin12lem2  41424  altgsumbc  42130  altgsumbcALT  42131  zlmodzxzsub  42138